Article · math-article

นิพจน์พีชคณิตและการแยกตัวประกอบ

คณิตศาสตร์พื้นฐาน

EP9 เรียนรู้การเขียนนิพจน์พีชคณิต การรวมพจน์ที่คล้ายกัน การใช้สมบัติการแจกแจง การคูณพหุนาม และการแยกตัวประกอบ พร้อมสูตร LaTeX ตัวอย่างทีละขั้น และแบบฝึกหัดประยุกต์

EP9: นิพจน์พีชคณิตและการแยกตัวประกอบ

หลังจากเรียนรู้เรื่องเลขยกกำลังและรากที่สองใน EP8 แล้ว ตอนนี้เราจะก้าวเข้าสู่โลกของพีชคณิต ซึ่งใช้ตัวอักษรแทนจำนวนที่ไม่ทราบค่าหรือจำนวนที่เปลี่ยนแปลงได้ พีชคณิตเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการแก้สมการ การศึกษาฟังก์ชัน และคณิตศาสตร์ขั้นสูงในตอนต่อไป

เป้าหมายของบทเรียนเมื่อเรียนจบ คุณจะสามารถเขียนและจัดรูปนิพจน์พีชคณิต รวมพจน์ที่คล้ายกัน ใช้สมบัติการแจกแจง คูณพหุนาม และแยกตัวประกอบของพหุนามพื้นฐานได้

1. นิพจน์พีชคณิตคืออะไร

นิพจน์พีชคณิต (Algebraic Expression) คือข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวแปร และการดำเนินการ เช่น การบวก ลบ คูณ และหาร ตัวแปรนิยมใช้ตัวอักษร เช่น $x$, $y$ และ $a$ เพื่อแทนจำนวนที่ยังไม่ทราบค่าหรือค่าที่เปลี่ยนแปลงได้

ตัวอย่างนิพจน์พีชคณิต

3x+5

นิพจน์นี้ประกอบด้วยพจน์ 3x และ 5 โดย x เป็นตัวแปร และ 3 เป็นสัมประสิทธิ์ของ x

องค์ประกอบ	ความหมาย	ตัวอย่าง
ตัวแปร	สัญลักษณ์แทนจำนวน	x ใน 4x
สัมประสิทธิ์	ตัวเลขที่คูณตัวแปร	4 ใน 4x
ค่าคงตัว	จำนวนที่ไม่มีตัวแปร	7 ใน x+7
พจน์	ส่วนที่ถูกแยกด้วยเครื่องหมายบวกหรือลบ	2x, 3 และ -y

ข้อควรจำ: $x$ หมายถึง $1x$ และ $-x$ หมายถึง $-1x$ ดังนั้นเมื่อมีตัวแปรที่ไม่มีตัวเลขเขียนกำกับ ให้ถือว่าสัมประสิทธิ์เป็น 1 หรือ -1 ตามเครื่องหมาย

2. การรวมพจน์ที่คล้ายกัน

พจน์ที่คล้ายกัน (Like Terms) คือพจน์ที่มีตัวแปรและเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเหมือนกัน เราสามารถนำสัมประสิทธิ์ของพจน์เหล่านั้นมาบวกหรือลบกันได้ โดยคงส่วนตัวแปรไว้เหมือนเดิม

หลักการรวมพจน์ที่คล้ายกัน

ax+bx=(a+b)x

เมื่อ a และ b เป็นจำนวนใด ๆ ที่กำหนด เราสามารถรวมสัมประสิทธิ์ของ x เข้าด้วยกันได้

ตัวอย่างที่ 1: จัดรูปนิพจน์

ขั้นที่ 1 รวมพจน์ชนิดเดียวกัน

4x+3+2x+5

จัดกลุ่มพจน์ที่มี x และพจน์ค่าคงตัวแยกจากกัน

ขั้นที่ 2 รวมสัมประสิทธิ์

(4x+2x)+(3+5)=6x+8

นำ 4 กับ 2 มาบวกกัน และนำ 3 กับ 5 มาบวกกัน

คำตอบนิพจน์ที่จัดรูปอย่างง่ายแล้วคือ 6x + 8 โดยไม่สามารถรวม 6x กับ 8 ให้เป็นพจน์เดียวกันได้ เพราะเป็นพจน์คนละชนิด

3. สมบัติการแจกแจง

สมบัติการแจกแจง (Distributive Property) ช่วยให้เราคูณจำนวนหรือนิพจน์หนึ่งเข้าไปในทุกพจน์ภายในวงเล็บ สมบัตินี้ใช้ได้ทั้งการกระจายเพื่อเปิดวงเล็บและการดึงตัวประกอบร่วมเพื่อจัดรูปกลับ

สมบัติการแจกแจง

a(b+c)=ab+ac

จำนวน a คูณทั้ง b และ c แล้วนำผลลัพธ์มาบวกกัน

ตัวอย่างที่ 2: เปิดวงเล็บ

กระจายตัวคูณเข้าไปทุกพจน์

3(2x+4)=3(2x)+3(4)

คูณ 3 เข้ากับทั้งพจน์ 2x และพจน์ 4

จัดรูปให้สมบูรณ์

3(2x+4)=6x+12

ผลลัพธ์สุดท้ายหลังเปิดวงเล็บ

ระวังเครื่องหมายลบเมื่อกระจาย -2 เข้าไปในวงเล็บ เช่น -2(x - 3) จะได้ -2x + 6 ไม่ใช่ -2x - 6 เพราะจำนวนลบคูณจำนวนลบจะได้จำนวนบวก

ตัวอย่างการกระจายเครื่องหมายลบ

-2(x-3)=-2x+6

ใช้กฎเครื่องหมายในการคูณแต่ละพจน์

4. การคูณพหุนาม

พหุนาม (Polynomial) คือนิพจน์ที่ประกอบด้วยพจน์ซึ่งมีเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็นจำนวนเต็มไม่ลบ เช่น $2x^2+3x-1$ การคูณพหุนามใช้สมบัติการแจกแจง โดยคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งเข้ากับทุกพจน์ของอีกพหุนามหนึ่ง

การคูณพหุนามสองพจน์

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

คูณทุกคู่ของพจน์จากวงเล็บทั้งสอง แล้วรวมผลลัพธ์

ตัวอย่างที่ 3: คูณพหุนาม

เริ่มจากคูณทุกพจน์

(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6

คูณ x กับ x, x กับ 3, 2 กับ x และ 2 กับ 3

รวมพจน์ที่คล้ายกัน

x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6

รวม 3x และ 2x ให้เป็น 5x

ดังนั้น $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$ การคูณพหุนามเป็นทักษะสำคัญที่จะนำไปใช้ในการแยกตัวประกอบ ซึ่งเป็นกระบวนการย้อนกลับของการคูณ

5. การแยกตัวประกอบของพหุนาม

การแยกตัวประกอบ (Factorization) คือการเขียนนิพจน์ให้อยู่ในรูปผลคูณของนิพจน์ที่ง่ายกว่า วิธีพื้นฐานที่ควรรู้ ได้แก่ การดึงตัวประกอบร่วม การแยกผลต่างกำลังสอง และการแยกพหุนามกำลังสองรูปแบบพื้นฐาน

5.1 การดึงตัวประกอบร่วม

รูปแบบการดึงตัวประกอบร่วม

ab+ac=a(b+c)

เมื่อพจน์มีตัวประกอบร่วม a สามารถดึง a ออกมาหน้าวงเล็บได้

ตัวอย่างการดึงตัวประกอบร่วม

6x+12=6(x+2)

ทั้ง 6x และ 12 มีตัวประกอบร่วมเป็น 6

5.2 ผลต่างกำลังสอง

ผลต่างกำลังสองเป็นรูปแบบที่พบได้บ่อย โดยนิพจน์ต้องเป็นกำลังสองของจำนวนหรือนิพจน์หนึ่งลบด้วยกำลังสองของอีกจำนวนหนึ่ง

สูตรผลต่างกำลังสอง

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

ใช้ได้กับผลต่างของกำลังสอง ไม่ใช่ผลบวกของกำลังสอง

ตัวอย่างผลต่างกำลังสอง

x^2-9=(x-3)(x+3)

เพราะ 9 = 3² และ x² - 3² เป็นผลต่างกำลังสอง

5.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสอง

สำหรับพหุนามรูป $x^2+bx+c$ เราสามารถมองหาจำนวนสองจำนวนที่มีผลบวกเท่ากับ b และผลคูณเท่ากับ c แล้วเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปผลคูณของวงเล็บสองชุดได้ เมื่อจำนวนดังกล่าวมีอยู่ในจำนวนเต็ม

รูปแบบการแยกตัวประกอบ

x^2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)

ผลบวกของ m และ n เป็นสัมประสิทธิ์ของ x ส่วนผลคูณเป็นพจน์ค่าคงตัว

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบ

x^2+5x+6=(x+2)(x+3)

เพราะ 2 + 3 = 5 และ 2 × 3 = 6

วิธีตรวจสอบคำตอบนำตัวประกอบที่ได้กลับมาคูณกัน หากผลลัพธ์ตรงกับพหุนามเดิม แสดงว่าการแยกตัวประกอบถูกต้อง

6. การประยุกต์พีชคณิตในชีวิตประจำวัน

พีชคณิตช่วยสร้างแบบจำลองสำหรับสถานการณ์ต่าง ๆ เช่น การคำนวณค่าใช้จ่าย การหาพื้นที่ และการเปรียบเทียบราคา การแทนจำนวนที่ไม่ทราบค่าด้วยตัวแปรทำให้เราเขียนความสัมพันธ์และคำนวณได้อย่างเป็นระบบ

ตัวอย่างที่ 4: คำนวณค่าใช้จ่าย

สมมติว่าซื้อสมุดราคาเล่มละ 15 บาท จำนวน x เล่ม และซื้อปากการาคา 20 บาทอีกหนึ่งด้าม ค่าใช้จ่ายทั้งหมดเขียนเป็นนิพจน์พีชคณิตได้ดังนี้

นิพจน์ค่าใช้จ่าย

C=15x+20

C คือค่าใช้จ่ายรวม หน่วยเป็นบาท และ x คือจำนวนสมุด

เมื่อซื้อสมุด 4 เล่ม

C=15(4)+20=60+20=80

ค่าใช้จ่ายรวมเท่ากับ 80 บาท

การสร้างนิพจน์ช่วยให้คำนวณได้หลายกรณีโดยไม่ต้องเริ่มตั้งโจทย์ใหม่ทุกครั้ง เพียงเปลี่ยนค่า x ก็สามารถหาค่าใช้จ่ายสำหรับจำนวนสมุดที่แตกต่างกันได้

7. สรุปสูตรสำคัญ

แนวคิด	สูตร	การใช้งาน
รวมพจน์ที่คล้ายกัน	ax + bx = (a+b)x	รวมสัมประสิทธิ์ของพจน์ชนิดเดียวกัน
สมบัติการแจกแจง	a(b+c) = ab+ac	เปิดวงเล็บหรือคูณพหุนาม
ดึงตัวประกอบร่วม	ab+ac = a(b+c)	แยกตัวประกอบที่ซ้ำกัน
ผลต่างกำลังสอง	a²-b² = (a-b)(a+b)	แยกผลต่างของกำลังสอง
พหุนามกำลังสอง	x²+(m+n)x+mn = (x+m)(x+n)	แยกตัวประกอบเมื่อเงื่อนไขผลบวกและผลคูณตรงกัน

8. แบบฝึกหัดท้ายบท

ลองทำแบบฝึกหัดต่อไปนี้ด้วยตนเอง โดยจัดรูปให้เรียบร้อยและแสดงขั้นตอนการคิดก่อนดูเฉลย

ข้อ 1: จงจัดรูป 5x + 3x - 4

เฉลย: รวม 5x + 3x = 8x ดังนั้นคำตอบคือ 8x - 4

ข้อ 2: จงเปิดวงเล็บ 4(2x - 3)

เฉลย: กระจาย 4 ไปยังทุกพจน์ จะได้ 4(2x) - 4(3) = 8x - 12

ข้อ 3: จงคูณ (x + 1)(x + 4)

เฉลย: คูณทุกพจน์จะได้ x² + 4x + x + 4 จากนั้นรวมพจน์ที่คล้ายกัน ได้ x² + 5x + 4

ข้อ 4: จงแยกตัวประกอบ 8x + 24

เฉลย: ดึงตัวประกอบร่วม 8 ออกมา จะได้ 8(x + 3)

ข้อ 5: จงแยกตัวประกอบ x² - 16

เฉลย: เป็นผลต่างกำลังสอง เพราะ 16 = 4² ดังนั้น x² - 16 = (x - 4)(x + 4)

ข้อ 6: จงแยกตัวประกอบ x² + 7x + 12

เฉลย: ต้องหาจำนวนสองจำนวนที่บวกกันได้ 7 และคูณกันได้ 12 คือ 3 และ 4 ดังนั้นคำตอบคือ (x + 3)(x + 4)

ข้อ 7: ถ้าสมุดราคาเล่มละ 12 บาท ซื้อ x เล่ม และซื้อปากกา 18 บาท จงเขียนนิพจน์ค่าใช้จ่ายรวม

เฉลย: ค่าใช้จ่ายรวมคือ 12x + 18 บาท หากซื้อสมุด 5 เล่ม จะจ่าย 12(5) + 18 = 78 บาท

บทเรียนที่ควรจำการจัดรูปพีชคณิตต้องแยกให้ออกว่าพจน์ใดคล้ายกัน ใช้สมบัติการแจกแจงอย่างถูกต้อง และตรวจสอบการแยกตัวประกอบด้วยการคูณกลับเสมอ

เตรียมพบกับ EP10

ตอนต่อไปจะเรียนเรื่องกราฟพิกัดฉากและความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร เราจะนำแนวคิดพีชคณิตจากบทนี้มาใช้สร้างตารางค่า หาคู่อันดับ และทำความเข้าใจความสัมพันธ์ที่แสดงออกมาเป็นกราฟ

พีชคณิตไม่ได้เป็นเพียงการคำนวณด้วยตัวอักษร แต่เป็นวิธีเขียนความสัมพันธ์ของปัญหาให้ชัดเจนและแก้ปัญหาได้อย่างเป็นระบบ

Reach within 500px of the page end and stay for at least 5 minutes to earn EXP once per day.

⏳ Reading timer is running...