Article · math-article

ลำดับและรูปแบบจำนวน

คณิตศาสตร์พื้นฐาน

เรียนรู้ลำดับจำนวน การหากฎของรูปแบบ ลำดับเลขคณิต ลำดับเรขาคณิต และการหาพจน์ถัดไปด้วยเหตุผลทางคณิตศาสตร์ พร้อมตัวอย่างและแบบฝึกหัด

EP16: ลำดับและรูปแบบจำนวน

ตัวเลขที่เรียงกันอาจดูเหมือนเป็นเพียงชุดข้อมูล แต่หลายชุดมีความสัมพันธ์ซ่อนอยู่ เช่น เพิ่มขึ้นครั้งละเท่า ๆ กัน คูณด้วยจำนวนเดิมทุกครั้ง หรือสลับกันตามกฎบางอย่าง การศึกษาลำดับจำนวนช่วยให้เราค้นพบกฎเหล่านี้และคาดการณ์ค่าถัดไปได้อย่างมีเหตุผล

เป้าหมายการเรียนรู้เมื่อเรียนจบบทนี้ คุณจะสามารถระบุพจน์ของลำดับ สังเกตความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน แยกลำดับเลขคณิตกับลำดับเรขาคณิต ใช้สูตรหาพจน์ที่ต้องการ และอธิบายเหตุผลของคำตอบได้

1. ลำดับจำนวนคืออะไร

ลำดับจำนวน (Sequence) คือชุดของจำนวนที่จัดเรียงตามตำแหน่ง โดยจำนวนแต่ละตำแหน่งเรียกว่า พจน์ (Term) ตัวอย่างเช่น 2, 4, 6, 8, 10 เป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นครั้งละ 2 ส่วน 3, 6, 12, 24 เป็นลำดับที่คูณด้วย 2 ในแต่ละขั้น

ตัวอย่างลำดับ

2,4,6,8,10,\ldots

จุดไข่ปลาแสดงว่าลำดับยังดำเนินต่อไปตามกฎที่กำหนด

ในการวิเคราะห์ลำดับ เรามักแทนพจน์ที่ n ด้วยสัญลักษณ์ a_n เช่น a_1 หมายถึงพจน์ที่ 1 และ a_5 หมายถึงพจน์ที่ 5 การเข้าใจตำแหน่งช่วยให้เราหาพจน์ที่ต้องการได้โดยไม่จำเป็นต้องเขียนทุกพจน์ออกมา

2. วิธีค้นหากฎของลำดับ

เริ่มจากตรวจสอบว่าจำนวนที่อยู่ติดกันมีความสัมพันธ์อย่างไร ลองหาผลต่างระหว่างพจน์ ตรวจสอบอัตราส่วนของพจน์ที่ติดกัน หรือพิจารณาว่ามีรูปแบบสลับกันหรือไม่

เขียนจำนวนตามลำดับที่โจทย์กำหนด
หาผลต่างของพจน์ที่อยู่ติดกัน
หากผลต่างไม่คงที่ ให้ตรวจสอบอัตราส่วนหรือรูปแบบอื่น
ทดลองใช้กฎที่คาดเดากับพจน์หลายตำแหน่ง
หาพจน์ถัดไปโดยใช้กฎที่สอดคล้องกับข้อมูล
ระวังว่าข้อมูลเพียงไม่กี่พจน์อาจอธิบายได้มากกว่าหนึ่งกฎ

ตัวอย่างที่ 1: ลำดับเพิ่มทีละเท่า ๆ กัน

โจทย์

5,8,11,14,\ldots

จงหาสองพจน์ถัดไป

หาผลต่างของพจน์ที่ติดกัน จะได้ 8 − 5 = 3, 11 − 8 = 3 และ 14 − 11 = 3 ผลต่างคงที่เท่ากับ 3 ดังนั้นพจน์ถัดไปคือ 14 + 3 = 17 และพจน์ต่อไปคือ 17 + 3 = 20

คำตอบ

5,8,11,14,17,20,\ldots

ลำดับนี้เพิ่มขึ้นครั้งละ 3

3. ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) คือ ลำดับที่ผลต่างระหว่างพจน์ที่ติดกันมีค่าคงที่ เรียกผลต่างคงที่นี้ว่า ผลต่างร่วม ใช้สัญลักษณ์ d

สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

a_n=a_1+(n-1)d

a_1 คือพจน์แรก n คือตำแหน่งที่ต้องการ และ d คือผลต่างร่วม

ตัวอย่างที่ 2: หาพจน์ที่ 10

กำหนดลำดับ 4, 7, 10, 13, ... จงหาพจน์ที่ 10 พจน์แรกคือ 4 และผลต่างร่วม d = 3

แทนค่าในสูตร

a_{10}=4+(10-1)\times3=4+27=31

พจน์ที่ 10 มีค่าเท่ากับ 31

ข้อดีของสูตรพจน์ทั่วไปคือ เราหาพจน์ที่อยู่ไกลได้โดยไม่ต้องไล่เขียนทุกพจน์ เช่น หากต้องการพจน์ที่ 100 ก็แทน n = 100 ลงในสูตรได้โดยตรง

4. ลำดับเลขคณิตที่ลดลง

ลำดับเลขคณิตไม่จำเป็นต้องเพิ่มขึ้นเสมอไป หากผลต่างร่วมเป็นจำนวนลบ ลำดับจะลดลงทีละเท่า ๆ กัน เช่น 20, 16, 12, 8, ... มีผลต่างร่วม d = −4

หาพจน์ที่ 6

a_6=20+(6-1)(-4)=20-20=0

พจน์ที่ 6 มีค่าเท่ากับ 0

5. ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิต (Geometric Sequence) คือ ลำดับที่อัตราส่วนระหว่างพจน์ที่ติดกันมีค่าคงที่ เรียกค่าคงที่นี้ว่า อัตราส่วนร่วม ใช้สัญลักษณ์ r โดยพจน์ก่อนหน้าคูณด้วย r จะได้พจน์ถัดไป

สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต

a_n=a_1r^{n-1}

a_1 คือพจน์แรก r คืออัตราส่วนร่วม และ n คือตำแหน่งของพจน์

ตัวอย่างที่ 3: ลำดับคูณด้วย 2

กำหนดลำดับ 3, 6, 12, 24, ... จะเห็นว่าพจน์ถัดไปเกิดจากการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วย 2 ดังนั้นอัตราส่วนร่วม r = 2

หาพจน์ที่ 6

a_6=3\times2^{6-1}=3\times32=96

พจน์ที่ 6 มีค่าเท่ากับ 96

6. เปรียบเทียบลำดับเลขคณิตกับลำดับเรขาคณิต

ประเด็น	ลำดับเลขคณิต	ลำดับเรขาคณิต
ความสัมพันธ์	บวกหรือลบด้วยค่าคงที่	คูณด้วยค่าคงที่
ค่าคงที่	ผลต่างร่วม d	อัตราส่วนร่วม r
สูตรพจน์ทั่วไป	a_n = a_1 + (n − 1)d	a_n = a_1r^(n − 1)
ตัวอย่าง	2, 5, 8, 11, ...	2, 6, 18, 54, ...

เคล็ดลับแยกชนิดลำดับหากการบวกหรือลบจำนวนเดิมทำให้ได้พจน์ถัดไป ให้ตรวจสอบลำดับเลขคณิต หากการคูณด้วยจำนวนเดิมทำให้ได้พจน์ถัดไป ให้ตรวจสอบลำดับเรขาคณิต

7. รูปแบบจำนวนชนิดอื่น

ไม่ใช่ทุกลำดับจะเป็นลำดับเลขคณิตหรือลำดับเรขาคณิต บางลำดับมีผลต่างที่เปลี่ยนไปอย่างมีแบบแผน บางลำดับเกิดจากการยกกำลัง หรือเกิดจากการนำลำดับสองชุดมาสลับกัน จึงควรพิจารณาความสัมพันธ์ของข้อมูลทั้งหมดก่อนเลือกสูตร

ตัวอย่างที่ 4: จำนวนกำลังสอง

ลำดับจำนวนกำลังสอง

1,4,9,16,25,\ldots

แต่ละพจน์เป็นกำลังสองของจำนวนเต็มบวกตามลำดับ

ลำดับนี้เกิดจาก 1², 2², 3², 4², 5² ดังนั้นพจน์ที่ n เขียนได้เป็น n² และพจน์ถัดไปหลัง 25 คือ 6² = 36

พจน์ทั่วไป

a_n=n^2

สูตรนี้ใช้กับลำดับ 1, 4, 9, 16, 25, ... โดยพจน์แรกตรงกับ n = 1

ตัวอย่างที่ 5: ลำดับสลับกัน

ลำดับ

2,5,3,6,4,7,\ldots

ลองแยกตำแหน่งคี่และตำแหน่งคู่เพื่อค้นหารูปแบบ

ตำแหน่งคี่คือ 2, 3, 4, ... ซึ่งเพิ่มทีละ 1 ส่วนตำแหน่งคู่คือ 5, 6, 7, ... ซึ่งเพิ่มทีละ 1 เช่นกัน ดังนั้นพจน์ถัดไปอยู่ตำแหน่งคู่และมีค่า 8

8. การนำลำดับไปใช้ในชีวิตประจำวัน

ตัวอย่างที่ 6: การออมเงินเพิ่มขึ้นทุกสัปดาห์

นักเรียนเริ่มออมเงินสัปดาห์แรก 20 บาท และเพิ่มจำนวนเงินที่ออมขึ้นสัปดาห์ละ 10 บาท หากออมตามรูปแบบนี้ สัปดาห์ที่ 8 จะออมเงินกี่บาท

จำนวนเงินที่ออมแต่ละสัปดาห์เป็นลำดับเลขคณิต โดย a_1 = 20 และ d = 10 ต้องการหาพจน์ที่ 8

คำนวณเงินออมสัปดาห์ที่ 8

a_8=20+(8-1)\times10=90

สัปดาห์ที่ 8 จะออมเงิน 90 บาท

สังเกตว่าโจทย์ถามจำนวนเงินที่ออมในสัปดาห์ที่ 8 ไม่ใช่จำนวนเงินสะสมทั้งหมด หากโจทย์ถามยอดเงินสะสม จะต้องหาผลรวมของเงินที่ออมในแต่ละสัปดาห์แทน

9. ผลรวมของลำดับเลขคณิต

หากต้องการหาผลรวมของพจน์หลายพจน์ในลำดับเลขคณิต สามารถใช้สูตรผลรวมแทนการบวกทีละพจน์ได้ โดยสูตรนี้เหมาะเมื่อทราบจำนวนพจน์ พจน์แรก และพจน์สุดท้าย หรือทราบพจน์แรกกับผลต่างร่วม

สูตรผลรวม n พจน์แรก

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

S_n คือผลรวม n พจน์แรก a_1 คือพจน์แรก และ a_n คือพจน์ที่ n

ตัวอย่างที่ 7: ผลรวมจำนวนคู่

จงหาผลรวม 2 + 4 + 6 + 8 + 10 ลำดับนี้มี 5 พจน์ พจน์แรกคือ 2 และพจน์สุดท้ายคือ 10

คำนวณผลรวม

S_5=\frac{5(2+10)}{2}=30

ผลรวมของจำนวนทั้งห้าเท่ากับ 30

แยกพจน์กับผลรวมพจน์ที่ n คือค่าของตำแหน่งหนึ่งในลำดับ ส่วน S_n คือผลรวมตั้งแต่พจน์แรกถึงพจน์ที่ n อย่าสับสนระหว่างสองสิ่งนี้เมื่ออ่านโจทย์

10. แบบฝึกหัดท้ายบท

ลองหาคำตอบด้วยตนเองก่อนเปิดเฉลย หากเป็นไปได้ ให้เขียนกฎของลำดับหรือแสดงการแทนค่าสูตรประกอบคำตอบ

ข้อ 1: จงหาสองพจน์ถัดไปของ 3, 7, 11, 15, ...

เฉลย: เพิ่มขึ้นครั้งละ 4 ดังนั้นสองพจน์ถัดไปคือ 19 และ 23

ข้อ 2: จงหาพจน์ที่ 12 ของ 2, 5, 8, 11, ...

เฉลย: a_1 = 2 และ d = 3 ใช้ a_n = a_1 + (n − 1)d ได้ a_12 = 2 + 11 × 3 = 35

ข้อ 3: จงหาสองพจน์ถัดไปของ 2, 6, 18, 54, ...

เฉลย: คูณด้วย 3 ทุกครั้ง ดังนั้นสองพจน์ถัดไปคือ 162 และ 486

ข้อ 4: จงหาพจน์ที่ 6 ของลำดับเรขาคณิต 5, 10, 20, 40, ...

เฉลย: a_1 = 5 และ r = 2 ดังนั้น a_6 = 5 × 2^5 = 160

ข้อ 5: ลำดับ 1, 4, 9, 16, ... มีพจน์ถัดไปเท่าใด

เฉลย: เป็นลำดับจำนวนกำลังสอง ได้แก่ 1², 2², 3², 4² ดังนั้นพจน์ถัดไปคือ 5² = 25

ข้อ 6: จงหาผลรวม 5 พจน์แรกของ 3, 6, 9, 12, ...

เฉลย: 5 พจน์แรกคือ 3, 6, 9, 12, 15 ผลรวมเท่ากับ 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45 หรือใช้ S_5 = 5(3 + 15)/2 = 45

ข้อ 7: ลำดับ 20, 17, 14, 11, ... เป็นลำดับชนิดใด และมีผลต่างร่วมเท่าใด

เฉลย: เป็นลำดับเลขคณิต เพราะผลต่างคงที่ d = −3

ข้อ 8: จงหาพจน์ที่ 7 ของลำดับ 1, 2, 4, 8, ...

เฉลย: เป็นลำดับเรขาคณิตที่ a_1 = 1 และ r = 2 ดังนั้น a_7 = 1 × 2^6 = 64

ข้อ 9: ลำดับ 10, 13, 16, 19, ... พจน์ที่ 20 มีค่าเท่าใด

เฉลย: a_1 = 10 และ d = 3 ดังนั้น a_20 = 10 + 19 × 3 = 67

ข้อ 10: จงหาผลรวม 1 + 3 + 5 + 7 + 9

เฉลย: เป็นลำดับเลขคณิตที่มี 5 พจน์ พจน์แรก 1 และพจน์สุดท้าย 9 ดังนั้น S_5 = 5(1 + 9)/2 = 25

11. สรุปบทเรียน

ลำดับคือชุดจำนวนที่จัดเรียงตามตำแหน่ง และจำนวนแต่ละตำแหน่งเรียกว่าพจน์
การหาผลต่างช่วยตรวจสอบว่าลำดับเป็นลำดับเลขคณิตหรือไม่
ลำดับเลขคณิตใช้สูตร a_n = a_1 + (n − 1)d
ลำดับเรขาคณิตใช้สูตร a_n = a_1r^(n − 1)
รูปแบบจำนวนบางชนิดอาจเป็นกำลังสอง ลำดับสลับ หรือรูปแบบอื่น
ผลรวมของลำดับเลขคณิตใช้สูตร S_n = n(a_1 + a_n)/2
ควรตรวจสอบกฎกับข้อมูลทุกพจน์ที่โจทย์ให้มา และระวังว่าลำดับอาจมีกฎได้มากกว่าหนึ่งแบบ

นำไปใช้จริงการสังเกตรูปแบบช่วยให้คาดการณ์แนวโน้ม วางแผนการออม วิเคราะห์ข้อมูล และแก้ปัญหาที่มีความสัมพันธ์ซ้ำ ๆ ได้ดีขึ้น ทักษะสำคัญคือการอธิบายว่ากฎที่เลือกสอดคล้องกับข้อมูลอย่างไร

เตรียมพบกับ EP17

EP17 จะพาเรียนรู้เรื่องพื้นที่และปริมาตร โดยทบทวนสูตรรูปทรงเรขาคณิต การเลือกหน่วยให้ถูกต้อง และการนำความรู้ไปแก้ปัญหาเกี่ยวกับสิ่งของและพื้นที่ในชีวิตประจำวัน

การค้นพบรูปแบบไม่ได้หมายถึงการเดาคำตอบ แต่คือการใช้หลักฐานจากข้อมูลเพื่ออธิบายกฎและคาดการณ์อย่างมีเหตุผล

Reach within 500px of the page end and stay for at least 5 minutes to earn EXP once per day.

⏳ Reading timer is running...