Article · math-article

หลักการนับเบื้องต้น

คณิตศาสตร์พื้นฐาน

เรียนรู้หลักการนับเบื้องต้น ทั้งหลักการบวก หลักการคูณ การแจกแจงกรณี และการใช้แผนภาพต้นไม้ เพื่อแก้ปัญหาการนับผลลัพธ์และเตรียมพื้นฐานสำหรับความน่าจะเป็น

EP13: หลักการนับเบื้องต้น

ใน EP12 เราเรียนรู้ความน่าจะเป็นและการนับจำนวนผลลัพธ์ที่ต้องการ บทนี้จะพัฒนาทักษะดังกล่าวให้เป็นระบบมากขึ้น เพราะหลายสถานการณ์มีทางเลือกหลายขั้นตอน เช่น การเลือกชุดเสื้อผ้า การจัดชุดอาหาร การเดินทางหลายเส้นทาง หรือการสร้างรหัสตัวเลข หากเรานับอย่างไม่เป็นระบบอาจนับซ้ำหรือตกหล่นได้

เป้าหมายการเรียนรู้เมื่อเรียนจบบทนี้ คุณจะใช้หลักการบวกและหลักการคูณได้อย่างถูกต้อง สร้างแผนภาพต้นไม้เพื่อแสดงทางเลือก และตรวจสอบจำนวนวิธีโดยไม่ต้องแจกแจงทุกกรณีเมื่อจำนวนกรณีมีมาก

1. ทำไมเราต้องเรียนหลักการนับ

หลักการนับช่วยหาจำนวนวิธีที่เหตุการณ์หนึ่งสามารถเกิดขึ้นได้ โดยไม่จำเป็นต้องเขียนรายการทั้งหมดเสมอไป วิธีที่เหมาะสมขึ้นอยู่กับโครงสร้างของโจทย์ว่าเป็นการเลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง หรือเป็นการทำหลายขั้นตอนต่อเนื่องกัน

สถานการณ์	คำถาม	แนวคิดที่ใช้
เลือกเครื่องดื่มหนึ่งชนิดจากหลายชนิด	มีตัวเลือกทั้งหมดกี่ชนิด	หลักการบวกเมื่อเป็นทางเลือกที่แยกจากกัน
เลือกเสื้อหนึ่งตัวและกางเกงหนึ่งตัว	แต่งตัวได้กี่ชุด	หลักการคูณเมื่อเลือกต่อเนื่องกัน
เดินทางจากบ้านไปโรงเรียนผ่านหลายเส้นทาง	มีเส้นทางที่เป็นไปได้กี่แบบ	แจกแจงกรณีหรือใช้แผนภาพต้นไม้
สร้างรหัสตัวเลขหลายหลัก	สร้างรหัสได้กี่แบบ	หลักการคูณ โดยพิจารณาเงื่อนไขของแต่ละหลัก

2. หลักการบวก

หลักการบวกใช้เมื่อเราต้องเลือกทำทางเลือกหนึ่งจากหลายทางเลือกที่แยกจากกันและไม่มีกรณีซ้ำกัน หากทางเลือกแรกมี m วิธี และทางเลือกที่สองมี n วิธี จำนวนวิธีรวมจะเท่ากับ m + n เมื่อเลือกเพียงทางเลือกใดทางเลือกหนึ่ง

สูตรหลักการบวก

N=m+n

ใช้เมื่อเป็นการเลือกทางเลือกหนึ่งจากกลุ่มทางเลือกที่ไม่ทับซ้อนกัน

ตัวอย่างที่ 1: เลือกหนังสือ

ห้องสมุดมีหนังสือนิทาน 5 เล่ม และหนังสือวิทยาศาสตร์ 4 เล่ม หากต้องการยืมหนังสือเพียง 1 เล่ม โดยเลือกจากหนังสือสองกลุ่มนี้ จะมีวิธีเลือกทั้งหมดกี่วิธี

คำนวณจำนวนวิธี

N=5+4=9

เลือกหนังสือนิทานได้ 5 วิธี หรือเลือกหนังสือวิทยาศาสตร์ได้ 4 วิธี รวม 9 วิธี

ข้อควรระวังหลักการบวกในรูปแบบง่ายนี้ใช้กับกลุ่มทางเลือกที่ไม่มีรายการซ้ำกัน หากรายการเดียวกันอยู่ในหลายกลุ่ม ต้องระวังการนับซ้ำและอาจต้องปรับวิธีนับ

3. หลักการคูณ

หลักการคูณใช้เมื่อการทำงานประกอบด้วยหลายขั้นตอนต่อเนื่องกัน หากขั้นตอนแรกมี m วิธี และสำหรับแต่ละวิธีของขั้นตอนแรก ขั้นตอนที่สองมี n วิธี จำนวนวิธีของสองขั้นตอนจะเท่ากับ m คูณ n ภายใต้เงื่อนไขที่จำนวนทางเลือกในแต่ละขั้นตอนเป็นไปตามที่โจทย์กำหนด

สูตรหลักการคูณ

N=m\times n

เมื่อมีสองขั้นตอนต่อเนื่องกัน จำนวนวิธีรวมได้จากการคูณจำนวนทางเลือกของแต่ละขั้นตอน

ตัวอย่างที่ 2: จัดชุดเสื้อผ้า

มีเสื้อ 3 ตัว และกางเกง 2 ตัว หากเลือกเสื้อหนึ่งตัวและกางเกงหนึ่งตัว โดยจับคู่ได้ทุกแบบ จะสามารถแต่งตัวได้กี่ชุด

จำนวนชุดที่เป็นไปได้

N=3\times2=6

เสื้อแต่ละตัวจับคู่กับกางเกงได้ 2 ตัว จึงมีทั้งหมด 6 ชุด

เสื้อ	กางเกง	ชุดที่ได้
เสื้อ 1	กางเกง 1	ชุดที่ 1
เสื้อ 1	กางเกง 2	ชุดที่ 2
เสื้อ 2	กางเกง 1	ชุดที่ 3
เสื้อ 2	กางเกง 2	ชุดที่ 4
เสื้อ 3	กางเกง 1	ชุดที่ 5
เสื้อ 3	กางเกง 2	ชุดที่ 6

ตารางแสดงชุดที่เป็นไปได้ครบทั้ง 6 ชุด และยืนยันคำตอบจากการคูณได้ หากจำนวนเสื้อและกางเกงเพิ่มขึ้นมาก การคูณจะช่วยหาคำตอบได้เร็วกว่าการเขียนทุกรายการ

4. หลักการคูณหลายขั้นตอน

หากการทำงานมีสามขั้นตอนหรือมากกว่า สามารถคูณจำนวนวิธีของแต่ละขั้นตอนได้ เมื่อจำนวนทางเลือกในแต่ละขั้นตอนเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนด

สูตรสำหรับหลายขั้นตอน

N=n_1\times n_2\times n_3\times\cdots\times n_k

n แต่ละตัวแทนจำนวนทางเลือกในขั้นตอนนั้น และ k คือจำนวนขั้นตอน

ตัวอย่างที่ 3: จัดชุดอาหาร

ร้านอาหารมีอาหารจานหลัก 4 รายการ เครื่องดื่ม 3 รายการ และของหวาน 2 รายการ หากลูกค้าเลือกอาหารจานหลักหนึ่งรายการ เครื่องดื่มหนึ่งรายการ และของหวานหนึ่งรายการ โดยเลือกได้ทุกคู่ จะจัดชุดอาหารได้ทั้งหมดกี่แบบ

คำนวณจำนวนชุดอาหาร

N=4\times3\times2=24

มีทางเลือก 4 แบบในขั้นแรก 3 แบบในขั้นที่สอง และ 2 แบบในขั้นที่สาม รวม 24 ชุด

จำง่าย ๆคำว่า 'หรือ' มักชี้ไปที่การบวก ส่วนคำว่า 'และ' มักชี้ไปที่การคูณ แต่ไม่ควรตัดสินจากคำเพียงคำเดียว ต้องดูโครงสร้างและเงื่อนไขของโจทย์ด้วย

5. แผนภาพต้นไม้

แผนภาพต้นไม้ (Tree Diagram) ใช้แสดงทางเลือกที่เกิดขึ้นตามลำดับ เริ่มจากจุดเริ่มต้นแล้วแตกแขนงตามตัวเลือกของแต่ละขั้นตอน ปลายกิ่งแต่ละเส้นแทนผลลัพธ์หนึ่งแบบ แผนภาพนี้ช่วยตรวจสอบจำนวนกรณีและทำให้เห็นว่าทางเลือกใดเชื่อมต่อกับทางเลือกใด

กำหนดจุดเริ่มต้นของการทดลอง
วาดกิ่งสำหรับตัวเลือกในขั้นตอนแรก
จากปลายกิ่งแต่ละกิ่ง วาดตัวเลือกของขั้นตอนถัดไป
ทำต่อจนครบทุกขั้นตอน
นับปลายกิ่งทั้งหมดเพื่อหาจำนวนผลลัพธ์

ตัวอย่างที่ 4: เลือกเครื่องดื่มและขนาดแก้ว

ร้านมีเครื่องดื่ม 2 ชนิด ได้แก่ ชาและโกโก้ และมีขนาดแก้ว 2 ขนาด ได้แก่ เล็กและใหญ่ หากเลือกเครื่องดื่มหนึ่งชนิดและขนาดหนึ่งขนาด จะมีทางเลือกทั้งหมด 4 แบบ

เครื่องดื่ม	ขนาด	ผลลัพธ์
ชา	เล็ก	ชา-เล็ก
ชา	ใหญ่	ชา-ใหญ่
โกโก้	เล็ก	โกโก้-เล็ก
โกโก้	ใหญ่	โกโก้-ใหญ่

จำนวนทางเลือก

N=2\times2=4

แผนภาพต้นไม้จะมีปลายกิ่ง 4 ปลาย ซึ่งตรงกับจำนวนทางเลือกทั้งหมด

6. การสร้างรหัสตัวเลข

การสร้างรหัสเป็นตัวอย่างที่ดีของหลักการนับ แต่ต้องตรวจสอบข้อกำหนดให้ชัดเจน เช่น รหัสมีทั้งหมดกี่หลัก ใช้ตัวเลขใดได้บ้าง อนุญาตให้ใช้ตัวเลขซ้ำหรือไม่ และหลักแรกเป็นศูนย์ได้หรือไม่ คำตอบจะเปลี่ยนไปตามเงื่อนไขเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 5: รหัสสองหลักที่ซ้ำได้

สมมติว่ารหัสประกอบด้วยตัวเลข 0 ถึง 9 จำนวน 2 หลัก และอนุญาตให้ใช้เลขซ้ำได้ รวมถึงอนุญาตให้หลักแรกเป็น 0 ด้วย แต่ละหลักจึงมีตัวเลือก 10 แบบ

จำนวนรหัสทั้งหมด

N=10\times10=100

มีรหัสตั้งแต่ 00 ถึง 99 รวม 100 แบบ

ตัวอย่างที่ 6: รหัสสองหลักที่ห้ามซ้ำ

หากยังใช้ตัวเลข 0 ถึง 9 แต่ห้ามใช้ตัวเลขซ้ำ หลักแรกมี 10 ตัวเลือก ส่วนหลักที่สองเหลือ 9 ตัวเลือก เพราะใช้ตัวเลขที่เลือกไปแล้วไม่ได้

จำนวนรหัสที่ไม่ซ้ำกัน

N=10\times9=90

เมื่อห้ามซ้ำ จำนวนทางเลือกของหลักที่สองลดลงเหลือ 9 แบบ

รหัสไม่เหมือนจำนวนสองหลักเสมอไปรหัส 07 เป็นรหัสสองหลักได้ หากโจทย์อนุญาตให้ขึ้นต้นด้วย 0 แต่จำนวน 07 มีค่าเท่ากับ 7 และไม่ใช่จำนวนสองหลัก ดังนั้นต้องแยกให้ออกว่าโจทย์ถามจำนวนรหัสหรือจำนวนเต็มสองหลัก

7. เลือกใช้หลักการบวกหรือหลักการคูณ

ก่อนคำนวณ ให้ถามตนเองว่ากำลังเลือกทางเลือกใดทางเลือกหนึ่ง หรือกำลังทำหลายขั้นตอนต่อเนื่องกัน หากเป็นทางเลือกที่แยกจากกันให้พิจารณาหลักการบวก หากเป็นการประกอบผลลัพธ์จากหลายขั้นตอนให้พิจารณาหลักการคูณ

ลักษณะโจทย์	วิธีคิด	ตัวอย่าง
เลือกเพียงหนึ่งทางเลือกจากกลุ่มที่แยกจากกัน	บวกจำนวนวิธี	เลือกหนังสือนิทานหรือหนังสือวิทยาศาสตร์หนึ่งเล่ม
เลือกหนึ่งรายการในขั้นแรกและอีกหนึ่งรายการในขั้นถัดไป	คูณจำนวนวิธี	เลือกเสื้อหนึ่งตัวและกางเกงหนึ่งตัว
หลายขั้นตอนที่แต่ละขั้นมีจำนวนทางเลือกต่างกัน	คูณจำนวนทางเลือกของแต่ละขั้น	เลือกอาหาร เครื่องดื่ม และของหวาน
มีข้อจำกัดหรือกลุ่มตัวเลือกซ้อนทับกัน	แยกกรณีและตรวจสอบเงื่อนไข	เลือกสมาชิกที่อาจอยู่ในหลายกลุ่ม

8. เชื่อมโยงหลักการนับกับความน่าจะเป็น

หลักการนับช่วยหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดและจำนวนผลลัพธ์ที่ตรงตามเงื่อนไข ซึ่งสามารถนำไปใช้คำนวณความน่าจะเป็นได้เมื่อผลลัพธ์พื้นฐานทุกแบบมีโอกาสเท่ากัน

ความน่าจะเป็นจากการนับกรณี

P(A)=\frac{\text{จำนวนผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไข}}{\text{จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด}}

นับกรณีที่ต้องการและกรณีทั้งหมดอย่างเป็นระบบก่อนนำมาหาร

ตัวอย่างที่ 7: สุ่มเลือกชุดอาหาร

ร้านมีอาหารจานหลัก 2 แบบ ได้แก่ ข้าวและก๋วยเตี๋ยว และเครื่องดื่ม 2 แบบ ได้แก่ น้ำเปล่าและน้ำผลไม้ ลูกค้าเลือกอาหารหนึ่งอย่างและเครื่องดื่มหนึ่งอย่าง โดยทุกชุดมีโอกาสถูกเลือกเท่ากัน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ชุดที่มีข้าว

จำนวนชุดทั้งหมด

n(S)=2\times2=4

ชุดที่เป็นไปได้คือ ข้าว-น้ำเปล่า ข้าว-น้ำผลไม้ ก๋วยเตี๋ยว-น้ำเปล่า และก๋วยเตี๋ยว-น้ำผลไม้

ความน่าจะเป็นที่จะได้ข้าว

P(\text{ข้าว})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=50\%

มีชุดที่ประกอบด้วยข้าว 2 ชุดจากทั้งหมด 4 ชุด

9. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้การบวกแทนการคูณ ทั้งที่โจทย์กำหนดให้ทำหลายขั้นตอนต่อเนื่องกัน
ใช้การคูณทั้งที่โจทย์ให้เลือกเพียงหนึ่งทางเลือกจากกลุ่มที่แยกจากกัน
ลืมตรวจสอบว่าตัวเลือกในแต่ละขั้นตอนขึ้นอยู่กับการเลือกก่อนหน้าหรือไม่
นับผลลัพธ์ซ้ำจากการเขียนรายการไม่เป็นระบบ
ลืมพิจารณาว่าอนุญาตให้เลือกซ้ำหรือไม่
สับสนระหว่างรหัสที่ขึ้นต้นด้วยศูนย์ได้กับจำนวนเต็มหลายหลัก

ขั้นตอนแก้โจทย์ให้แม่นยำอ่านเงื่อนไขให้ครบ แบ่งขั้นตอนหรือแยกทางเลือก เขียนจำนวนวิธีของแต่ละขั้น ตรวจสอบการซ้ำและข้อจำกัด แล้วเลือกใช้หลักการบวก หลักการคูณ หรือการแจกแจงกรณีตามความเหมาะสม

10. สรุปบทเรียน

แนวคิด	สูตร	ใช้เมื่อ
หลักการบวก	N = m + n	เลือกทางเลือกหนึ่งจากกลุ่มที่แยกจากกัน
หลักการคูณ	N = m × n	ทำหลายขั้นตอนต่อเนื่องกัน
หลักการคูณหลายขั้น	N = n₁ × n₂ × ... × nₖ	มีหลายขั้นตอนและทราบจำนวนทางเลือกของแต่ละขั้น
แผนภาพต้นไม้	นับจำนวนปลายกิ่ง	ต้องการแสดงลำดับและแจกแจงผลลัพธ์
ความน่าจะเป็น	P(A) = n(A)/n(S)	ผลลัพธ์พื้นฐานทุกแบบมีโอกาสเท่ากัน

11. แบบฝึกหัดท้ายบท

ลองตอบคำถามด้วยตนเองก่อนเปิดดูเฉลย โดยเขียนวิธีคิดประกอบเพื่อฝึกการเลือกใช้หลักการนับให้เหมาะกับโจทย์

ข้อ 1: มีสมุด 4 แบบและปากกา 3 แบบ หากเลือกสมุดหนึ่งเล่มหรือปากกาหนึ่งด้าม จะมีวิธีเลือกทั้งหมดกี่วิธี

เฉลย: เลือกเพียงหนึ่งรายการจากสองกลุ่มที่แยกจากกัน จึงใช้หลักการบวก 4 + 3 = 7 วิธี

ข้อ 2: มีเสื้อ 5 ตัวและกางเกง 4 ตัว หากจับคู่ได้ทุกแบบ จะจัดชุดได้กี่ชุด

เฉลย: เลือกเสื้อหนึ่งตัวและกางเกงหนึ่งตัว จึงใช้หลักการคูณ 5 × 4 = 20 ชุด

ข้อ 3: ร้านมีอาหาร 3 แบบ เครื่องดื่ม 2 แบบ และของหวาน 4 แบบ จะจัดชุดอาหารได้กี่แบบ

เฉลย: 3 × 2 × 4 = 24 แบบ เมื่อเลือกแต่ละรายการได้อย่างอิสระตามเงื่อนไข

ข้อ 4: สร้างรหัสสองหลักจากเลข 0 ถึง 9 โดยใช้เลขซ้ำได้และหลักแรกเป็น 0 ได้ จะมีรหัสกี่แบบ

เฉลย: แต่ละหลักมี 10 ทางเลือก จึงมี 10 × 10 = 100 แบบ

ข้อ 5: สร้างรหัสสองหลักจากเลข 0 ถึง 9 โดยห้ามใช้เลขซ้ำและหลักแรกเป็น 0 ได้ จะมีรหัสกี่แบบ

เฉลย: หลักแรกมี 10 ทางเลือก และหลักที่สองเหลือ 9 ทางเลือก จึงมี 10 × 9 = 90 แบบ

ข้อ 6: ร้านมีชา 3 ชนิดและกาแฟ 5 ชนิด หากเลือกเครื่องดื่มเพียงหนึ่งชนิด จะเลือกได้กี่วิธี

เฉลย: เป็นการเลือกชาอย่างใดอย่างหนึ่งหรือกาแฟอย่างใดอย่างหนึ่งจากกลุ่มที่แยกกัน จึงมี 3 + 5 = 8 วิธี

ข้อ 7: โยนเหรียญสมดุลสองครั้ง มีผลลัพธ์ทั้งหมดกี่แบบ

เฉลย: แต่ละครั้งมี 2 ทางเลือก จึงมี 2 × 2 = 4 แบบ ได้แก่ HH, HT, TH และ TT

ข้อ 8: มีหมวก 2 ใบ เสื้อ 3 ตัว และกางเกง 2 ตัว หากเลือกอย่างละหนึ่งชิ้น จะได้ชุดทั้งหมดกี่แบบ

เฉลย: 2 × 3 × 2 = 12 แบบ

ข้อ 9: จากชุดอาหาร 6 ชุดที่มีโอกาสถูกเลือกเท่ากัน มี 2 ชุดที่เป็นอาหารมังสวิรัติ ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มได้ชุดมังสวิรัติเท่ากับเท่าใด

เฉลย: P = 2/6 = 1/3 หรือประมาณ 33.33%

ข้อ 10: หากมีตัวเลือกขั้นแรก 3 วิธี และแต่ละวิธีมีตัวเลือกขั้นที่สอง 4 วิธี จะมีผลลัพธ์ทั้งหมดกี่แบบ

เฉลย: ใช้หลักการคูณ 3 × 4 = 12 แบบ

สิ่งที่ควรทำได้หลังเรียนคุณควรอธิบายได้ว่าเหตุใดโจทย์หนึ่งจึงใช้การบวกหรือการคูณ และสามารถตรวจสอบคำตอบด้วยตารางหรือแผนภาพต้นไม้ได้

เตรียมพบกับ EP14

EP14 จะต่อยอดเรื่องการนับไปสู่การเรียงลำดับและการจัดหมู่เบื้องต้น โดยพิจารณาว่าลำดับของสิ่งที่เลือกมีความสำคัญหรือไม่ และจะนับจำนวนวิธีอย่างไรเมื่อมีข้อจำกัดเพิ่มเติม

การนับอย่างเป็นระบบทำให้ปัญหาที่ดูซับซ้อนกลายเป็นขั้นตอนที่เข้าใจและตรวจสอบได้

Reach within 500px of the page end and stay for at least 5 minutes to earn EXP once per day.

⏳ Reading timer is running...