Article · math-article

คณิตศาสตร์-Math EP.3: เศษส่วนและร้อยละ

คณิตศาสตร์พื้นฐาน

บทเรียนคณิตศาสตร์เรื่องเศษส่วน ทศนิยม ร้อยละ อัตราส่วน และการประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวัน พร้อมบล็อก Math ที่ใช้ LaTeX และ KaTeX แสดงสูตร การพิสูจน์ขั้นตอน การเปรียบเทียบ และโจทย์คำนวณอย่างละเอียด

EP.3 เศษส่วน ทศนิยม และร้อยละ

เศษส่วน ทศนิยม และร้อยละ เป็นวิธีเขียนจำนวนที่แตกต่างกัน แต่สามารถใช้แทนค่าเดียวกันได้ เช่น ครึ่งหนึ่งของพิซซ่าอาจเขียนเป็นเศษส่วน $\frac{1}{2}$ ทศนิยม $0.5$ หรือร้อยละ $50\%$ การเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างรูปแบบเหล่านี้ช่วยให้คำนวณราคา ส่วนลด คะแนน และข้อมูลต่าง ๆ ได้ง่ายขึ้น บทเรียนนี้ใช้บล็อก Math แสดงสูตรและวิธีคำนวณทีละขั้น เพื่อให้สามารถอ่านและนำไปใช้ได้จริง

เป้าหมายการเรียนรู้เมื่อเรียนจบ คุณจะสามารถย่อและขยายเศษส่วน บวกและลบเศษส่วน คูณและหารเศษส่วน แปลงเศษส่วนเป็นทศนิยมและร้อยละ ตลอดจนนำความรู้ไปแก้โจทย์ปัญหาได้

หนังสือและอุปกรณ์สำหรับเรียนคณิตศาสตร์ — เศษส่วนและการคำนวณเป็นพื้นฐานสำคัญของคณิตศาสตร์

1. ความหมายของเศษส่วน

เศษส่วนเขียนในรูป $\frac{a}{b}$ โดย $a$ เรียกว่า **ตัวเศษ** และ $b$ เรียกว่า **ตัวส่วน** ตัวเศษบอกจำนวนส่วนที่เราสนใจ ส่วนตัวส่วนบอกว่าหนึ่งหน่วยถูกแบ่งออกเป็นกี่ส่วนเท่า ๆ กัน โดยตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์

รูปทั่วไปของเศษส่วน

\frac{a}{b},\qquad b\ne 0

a เป็นตัวเศษ b เป็นตัวส่วน และ b ต้องไม่เท่ากับศูนย์

ตัวอย่างเศษส่วนสามในสี่

\frac{3}{4}=\underbrace{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}_{\text{สามส่วนจากทั้งหมดสี่ส่วน}}

เศษส่วน 3/4 หมายถึงสามส่วน เมื่อหนึ่งหน่วยแบ่งเป็นสี่ส่วนเท่ากัน

เศษส่วนแท้มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน เช่น $\frac{2}{5}$ ส่วนเศษเกินมีตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน เช่น $\frac{7}{4}$ และจำนวนคละประกอบด้วยจำนวนเต็มกับเศษส่วนแท้ เช่น $1\frac{3}{4}$

แปลงเศษเกินเป็นจำนวนคละ

\frac{7}{4}=\frac{4}{4}+\frac{3}{4}=1\frac{3}{4}

หาร 7 ด้วย 4 ได้ผลหาร 1 และเศษ 3 จึงเขียนเป็นจำนวนคละได้

แปลงจำนวนคละเป็นเศษเกิน

2\frac{3}{5}=\frac{2\times5+3}{5}=\frac{13}{5}

นำจำนวนเต็มคูณตัวส่วน แล้วบวกตัวเศษ โดยคงตัวส่วนเดิม

2. เศษส่วนที่เท่ากันและการย่อเศษส่วน

เศษส่วนที่เขียนต่างกันอาจมีค่าเท่ากันได้ หากคูณหรือหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง หลักการนี้ช่วยให้เราย่อเศษส่วนให้อยู่ในรูปอย่างต่ำ หรือขยายเศษส่วนให้มีตัวส่วนตามต้องการ

สมบัติของเศษส่วนที่เท่ากัน

\frac{a}{b}=\frac{ak}{bk},\qquad b\ne0,\ k\ne0

การคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่เป็นศูนย์จะคงค่าเดิม

ตัวอย่างการย่อเศษส่วน

\frac{18}{24}=\frac{18\div6}{24\div6}=\frac{3}{4}

หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวหารร่วม 6 จะได้เศษส่วนอย่างต่ำ 3/4

ตัวอย่างการขยายเศษส่วน

\frac{2}{3}=\frac{2\times4}{3\times4}=\frac{8}{12}

ขยายเศษส่วนด้วย 4 ทำให้ได้ตัวส่วนเป็น 12 โดยค่าไม่เปลี่ยน

3. การเปรียบเทียบเศษส่วน

หากเศษส่วนมีตัวส่วนเท่ากัน ให้เปรียบเทียบตัวเศษได้โดยตรง แต่ถ้าตัวส่วนต่างกัน ควรทำให้มีตัวส่วนร่วมก่อน หรือใช้การคูณไขว้เมื่อเศษส่วนทั้งสองมีตัวส่วนเป็นบวก

กรณีตัวส่วนเท่ากัน

\frac{5}{8}>\frac{3}{8}\qquad\text{เพราะ}\qquad 5>3

เมื่อแบ่งหน่วยออกเป็นแปดส่วนเท่ากัน ห้าส่วนย่อมมากกว่าสามส่วน

กรณีตัวส่วนต่างกัน

\frac{2}{3}=\frac{8}{12},\qquad \frac{3}{4}=\frac{9}{12},\qquad \therefore\frac{2}{3}<\frac{3}{4}

เมื่อเปลี่ยนเป็นตัวส่วนร่วม 12 จะเห็นว่า 8/12 น้อยกว่า 9/12

การเปรียบเทียบด้วยการคูณไขว้

\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\iff ad<bc,\qquad b>0,\ d>0

เมื่อ b และ d เป็นจำนวนบวก สามารถเปรียบเทียบผลคูณไขว้ได้

4. การบวกและการลบเศษส่วน

เศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันสามารถบวกหรือลบตัวเศษได้โดยคงตัวส่วนเดิมไว้ แต่ถ้าตัวส่วนต่างกัน ต้องหาตัวส่วนร่วมก่อน โดยทั่วไปนิยมใช้ตัวคูณร่วมน้อยเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น

สูตรการบวกเศษส่วนตัวส่วนเท่ากัน

\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c},\qquad c\ne0

รวมตัวเศษเข้าด้วยกันและคงตัวส่วนเดิม

ตัวอย่างการบวกตัวส่วนเท่ากัน

\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{2+3}{7}=\frac{5}{7}

นำ 2 บวก 3 ได้ 5 และคงตัวส่วนเป็น 7

สูตรการบวกเศษส่วนตัวส่วนต่างกัน

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd},\qquad b,d\ne0

สูตรนี้ได้จากการทำเศษส่วนให้มีตัวส่วนร่วมเป็น bd ก่อนบวก

ตัวอย่างการบวกตัวส่วนต่างกัน

\begin{aligned}\frac{1}{3}+\frac{1}{4}&=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}\\&=\frac{7}{12}\end{aligned}

ตัวคูณร่วมน้อยของ 3 และ 4 คือ 12 จึงเปลี่ยนทั้งสองเศษส่วนให้มีตัวส่วนเป็น 12

ตัวอย่างการลบเศษส่วน

\begin{aligned}\frac{5}{6}-\frac{1}{4}&=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}\\&=\frac{7}{12}\end{aligned}

ทำตัวส่วนให้เป็น 12 ก่อน แล้วลบตัวเศษ 10 - 3

ข้อควรระวังห้ามบวกหรือลบตัวส่วนโดยตรง เช่น 1/3 + 1/4 ไม่เท่ากับ 2/7 ต้องเปลี่ยนเศษส่วนให้มีตัวส่วนร่วมก่อนเสมอ

5. การคูณและการหารเศษส่วน

การคูณเศษส่วนทำได้โดยคูณตัวเศษเข้าด้วยกันและคูณตัวส่วนเข้าด้วยกัน ส่วนการหารเศษส่วนให้เปลี่ยนเป็นการคูณด้วยเศษส่วนกลับของตัวหาร โดยตัวหารต้องไม่เป็นศูนย์

สูตรการคูณเศษส่วน

\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad b,d\ne0

คูณตัวเศษกับตัวเศษ และตัวส่วนกับตัวส่วน

ตัวอย่างการคูณเศษส่วน

\frac{2}{3}\times\frac{5}{8}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}

คูณได้ 10/24 แล้วหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 2

สูตรการหารเศษส่วน

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc},\qquad b,c,d\ne0

กลับเศษส่วนตัวหลัง แล้วเปลี่ยนเครื่องหมายหารเป็นคูณ

ตัวอย่างการหารเศษส่วน

\begin{aligned}\frac{3}{5}\div\frac{2}{7}&=\frac{3}{5}\times\frac{7}{2}\\&=\frac{21}{10}\\&=2\frac{1}{10}\end{aligned}

กลับ 2/7 เป็น 7/2 แล้วคูณตามปกติ

6. แปลงเศษส่วนเป็นทศนิยม

การแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยมทำได้โดยนำตัวเศษหารด้วยตัวส่วน บางเศษส่วนได้ทศนิยมสิ้นสุด เช่น 1/4 = 0.25 ส่วนบางเศษส่วนได้ทศนิยมซ้ำ เช่น 1/3 = 0.333... การเขียนจุดสามจุดหมายถึงเลขทศนิยมยังดำเนินต่อไป

หลักการแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยม

\frac{a}{b}=a\div b,\qquad b\ne0

ใช้การหารเพื่อแปลงเศษส่วนให้เป็นรูปทศนิยม

ตัวอย่างทศนิยมสิ้นสุด

\frac{3}{8}=3\div8=0.375

เมื่อนำ 3 หารด้วย 8 จะได้ทศนิยมสิ้นสุด 0.375

ตัวอย่างทศนิยมซ้ำ

\frac{1}{3}=0.333\ldots=0.\overline{3}

เลข 3 ซ้ำไปเรื่อย ๆ สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ขีดเหนือเลขที่ซ้ำได้

7. แปลงทศนิยมเป็นเศษส่วน

หากทศนิยมมีจำนวนหลักจำกัด ให้เขียนจำนวนทศนิยมเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 10, 100, 1,000 หรือกำลังของ 10 ตามจำนวนหลักทศนิยม จากนั้นย่อเศษส่วนให้อยู่ในรูปอย่างต่ำ

ทศนิยมสองตำแหน่ง

0.36=\frac{36}{100}=\frac{9}{25}

มีทศนิยมสองตำแหน่ง จึงเขียนเป็นส่วนร้อยแล้วหารด้วย 4

ทศนิยมสามตำแหน่ง

0.125=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}

หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 125 จะได้ 1/8

8. ความหมายและสูตรของร้อยละ

ร้อยละหรือเปอร์เซ็นต์ใช้สัญลักษณ์ % และหมายถึงจำนวนต่อ 100 เช่น 25% หมายถึง 25 ใน 100 สามารถเขียนเป็นเศษส่วน 25/100 หรือทศนิยม 0.25 ได้ การเข้าใจแนวคิดนี้ช่วยให้คำนวณส่วนลด คะแนน และการเปลี่ยนแปลงของจำนวนได้

ความสัมพันธ์ระหว่างร้อยละ เศษส่วน และทศนิยม

p\%=\frac{p}{100}=\text{ค่าทศนิยม}

เปลี่ยนร้อยละเป็นเศษส่วนโดยหารด้วย 100 และเปลี่ยนเป็นทศนิยมด้วยการหาร 100

ตัวอย่างการแปลง 40 เปอร์เซ็นต์

40\%=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}=0.4

40% เท่ากับเศษส่วน 2/5 และทศนิยม 0.4

สูตรคำนวณร้อยละของจำนวน

\text{ร้อยละของจำนวน}=\frac{p}{100}\times N

p คือค่าร้อยละ และ N คือจำนวนทั้งหมดที่ต้องการคำนวณ

ตัวอย่าง 15 เปอร์เซ็นต์ของ 240

\begin{aligned}15\%\text{ ของ }240&=\frac{15}{100}\times240\\&=0.15\times240\\&=36\end{aligned}

15% ของ 240 มีค่าเท่ากับ 36

9. คำนวณส่วนลดและราคาหลังลด

การซื้อสินค้ามักพบส่วนลดในรูปเปอร์เซ็นต์ หากทราบราคาป้ายและอัตราส่วนลด สามารถหาจำนวนเงินที่ลดได้ก่อน จากนั้นนำเงินส่วนลดไปลบออกจากราคาป้าย

สูตรคำนวณส่วนลด

D=P\times\frac{r}{100}

D คือจำนวนเงินส่วนลด P คือราคาป้าย และ r คืออัตราส่วนลดเป็นเปอร์เซ็นต์

สูตรหาราคาหลังลด

P_{\text{หลังลด}}=P-D=P\left(1-\frac{r}{100}\right)

ราคาหลังลดเท่ากับราคาป้ายลบเงินส่วนลด

ตัวอย่างสินค้าราคา 1,200 บาท ลด 25%

\begin{aligned}D&=1200\times\frac{25}{100}=300\\P_{\text{หลังลด}}&=1200-300\\&=900\text{ บาท}\end{aligned}

ส่วนลดเท่ากับ 300 บาท และราคาที่ต้องจ่ายหลังลดเท่ากับ 900 บาท

อย่าสับสนระหว่างส่วนลดกับราคาที่ต้องจ่ายถ้าลดราคา 25% หมายถึงลดออก 25% ของราคาป้าย แต่ผู้ซื้อยังต้องจ่ายอีก 75% ของราคาป้าย

สัดส่วนราคาที่เหลือหลังลด 25%

100\%-25\%=75\%

ราคาหลังลดคิดเป็น 75% ของราคาป้ายเดิม

10. อัตราส่วนและสัดส่วน

อัตราส่วนใช้เปรียบเทียบปริมาณสองจำนวน เช่น น้ำเชื่อม 2 ส่วนต่อน้ำ 5 ส่วน เขียนได้เป็น 2:5 ส่วนสัดส่วนคือข้อความที่แสดงว่าอัตราส่วนสองชุดเท่ากัน สามารถใช้หาปริมาณที่หายไปได้

รูปแบบอัตราส่วน

a:b=\frac{a}{b},\qquad b\ne0

อัตราส่วน a ต่อ b สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้เมื่อ b ไม่เป็นศูนย์

สมบัติของสัดส่วน

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad=bc,\qquad b,d\ne0

เมื่อสัดส่วนสองชุดเท่ากัน สามารถคูณไขว้เพื่อหาค่าที่ไม่ทราบได้

ตัวอย่างสัดส่วน

\begin{aligned}\frac{3}{5}&=\frac{x}{20}\\5x&=3\times20\\5x&=60\\x&=12\end{aligned}

คูณไขว้แล้วหารด้วย 5 จะได้ x เท่ากับ 12

11. การประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวัน

สมมติว่าห้องเรียนมีนักเรียน 40 คน และมีนักเรียน 30% เข้าร่วมกิจกรรมวิทยาศาสตร์ เราสามารถคำนวณจำนวนผู้เข้าร่วมได้ด้วยการนำร้อยละคูณกับจำนวนนักเรียนทั้งหมด

หาจำนวนนักเรียนที่เข้าร่วมกิจกรรม

\begin{aligned}30\%\text{ ของ }40&=\frac{30}{100}\times40\\&=12\text{ คน}\end{aligned}

มีนักเรียนเข้าร่วมกิจกรรม 12 คน

อีกตัวอย่างหนึ่งคือการแบ่งน้ำผลไม้ 3 ลิตรใส่ขวดขนาดเท่ากัน ขวดละ 1/4 ลิตร จำนวนขวดที่ต้องใช้หาได้จากการหารปริมาณทั้งหมดด้วยความจุของขวดแต่ละใบ

หาจำนวนขวดที่ใช้บรรจุน้ำผลไม้

\begin{aligned}3\div\frac{1}{4}&=3\times4\\&=12\text{ ขวด}\end{aligned}

น้ำผลไม้ 3 ลิตรบรรจุขวดขนาด 1/4 ลิตรได้ 12 ขวดเต็ม

12. ตารางสรุปการแปลงจำนวน

เศษส่วน	ทศนิยม	ร้อยละ
1/2	0.5	50%
1/4	0.25	25%
3/4	0.75	75%
1/5	0.2	20%
1/10	0.1	10%
3/5	0.6	60%
7/20	0.35	35%
9/25	0.36	36%

13. ฝึกวิเคราะห์และเลือกสูตรให้เหมาะสม

ก่อนคำนวณ ให้พิจารณาว่าโจทย์ต้องการให้ทำอะไร หากต้องรวมส่วนของสิ่งเดียวกันให้คิดถึงการบวกเศษส่วน หากแบ่งปริมาณเป็นกลุ่มเท่ากันอาจใช้การหาร หากต้องหาส่วนหนึ่งของจำนวนให้ใช้การคูณ และหากเปรียบเทียบส่วนต่อร้อยให้ใช้ร้อยละ

แบบจำลองการเลือกวิธีคำนวณ

\begin{aligned}\text{ส่วนของจำนวน}&:\quad \frac{p}{100}\times N\\\text{ส่วนลด}&:\quad P\times\frac{r}{100}\\\text{การหารเศษส่วน}&:\quad \frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\\\text{สัดส่วน}&:\quad \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\end{aligned}

เลือกสูตรให้ตรงกับความสัมพันธ์ที่โจทย์กำหนด แล้วแทนค่าตามลำดับ

14. แบบฝึกหัดท้ายบท

ลองทำโจทย์ด้วยตนเองก่อนเปิดเฉลย แต่ละข้อควรเขียนขั้นตอนคำนวณและตรวจดูว่าคำตอบสมเหตุสมผลหรือไม่

ข้อ 1: จงย่อเศษส่วน 24/36 ให้เป็นอย่างต่ำ

หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 12 จะได้ 24/36 = (24 ÷ 12)/(36 ÷ 12) = 2/3

ข้อ 2: จงหาผลบวก 2/5 + 1/10

เปลี่ยน 2/5 เป็น 4/10 แล้วบวก 4/10 + 1/10 = 5/10 = 1/2

ข้อ 3: จงหาผลลบ 7/8 - 1/4

เปลี่ยน 1/4 เป็น 2/8 จากนั้น 7/8 - 2/8 = 5/8

ข้อ 4: จงหาผลคูณ 3/7 × 14/15

คูณได้ 42/105 แล้วหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 21 จะได้คำตอบ 2/5

ข้อ 5: จงหาผลหาร 4/9 ÷ 2/3

กลับเศษส่วนตัวหารแล้วคูณ: 4/9 × 3/2 = 12/18 = 2/3

ข้อ 6: จงเขียน 0.45 ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ

0.45 = 45/100 หารทั้งสองจำนวนด้วย 5 ได้ 9/20

ข้อ 7: จงแปลง 7/20 เป็นร้อยละ

7/20 = 35/100 ดังนั้นเท่ากับ 35%

ข้อ 8: เสื้อราคา 800 บาท ลดราคา 15% ต้องจ่ายเท่าไร

ส่วนลด = 800 × 15/100 = 120 บาท ราคาหลังลด = 800 - 120 = 680 บาท

ข้อ 9: จงหาค่า x จาก 2/3 = x/18

คูณไขว้ได้ 3x = 36 จากนั้นหารด้วย 3 จึงได้ x = 12

ข้อ 10: นักเรียน 45 คน มี 20% ที่เดินทางมาโรงเรียนด้วยจักรยาน มีนักเรียนกี่คน

จำนวนคน = 20/100 × 45 = 9 คน

สรุปบทเรียนเศษส่วน ทศนิยม และร้อยละเป็นรูปแบบจำนวนที่เชื่อมโยงกันได้ การทำเศษส่วนให้มีตัวส่วนร่วมช่วยให้บวกและลบได้ถูกต้อง การคูณและหารใช้กฎเฉพาะของตนเอง ส่วนร้อยละเหมาะสำหรับการเปรียบเทียบส่วนต่อร้อย เช่น ส่วนลด คะแนน และข้อมูลในชีวิตประจำวัน

เมื่อเข้าใจความสัมพันธ์ของจำนวน สูตรคณิตศาสตร์จะไม่ใช่สิ่งที่ต้องท่องจำ แต่เป็นเครื่องมือที่ช่วยให้เราคิดอย่างมีเหตุผล

ชุดบทความ **คณิตศาสตร์-Math** — EP.3 เน้นเศษส่วน ทศนิยม และร้อยละ เพื่อพัฒนาทักษะคำนวณและต่อยอดสู่โจทย์ปัญหาที่ซับซ้อนขึ้น

Reach within 500px of the page end and stay for at least 5 minutes to earn EXP once per day.

⏳ Reading timer is running...