Article · math-article

กราฟพิกัดฉากและความสัมพันธ์

คณิตศาสตร์พื้นฐาน

EP10 เรียนรู้ระบบพิกัดฉาก คู่อันดับ การอ่านกราฟ ตารางความสัมพันธ์ และการสร้างกราฟจากสมการ พร้อมสูตรคณิตศาสตร์ ตัวอย่างทีละขั้น และแบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

EP10: กราฟพิกัดฉากและความสัมพันธ์

ใน EP9 เราได้เรียนรู้เรื่องนิพจน์พีชคณิต การจัดรูป และการแยกตัวประกอบแล้ว ในบทนี้เราจะนำความรู้เกี่ยวกับตัวแปรมาใช้แสดงความสัมพันธ์ผ่านกราฟ ซึ่งช่วยให้มองเห็นรูปแบบของข้อมูลและเข้าใจว่าค่าของตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่ออีกตัวแปรเปลี่ยนตาม

เป้าหมายการเรียนรู้เมื่อเรียนจบบทนี้ คุณจะสามารถระบุแกน X และแกน Y อ่านคู่อันดับ วางจุดบนระนาบพิกัด สร้างกราฟจากตารางค่า และอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรจากกราฟอย่างง่ายได้

1. ระบบพิกัดฉากคืออะไร

ระบบพิกัดฉาก (Cartesian Coordinate System) เป็นระบบที่ใช้ระบุตำแหน่งของจุดบนระนาบ โดยมีเส้นจำนวนสองเส้นตัดกันเป็นมุมฉาก ได้แก่ แกนนอนหรือแกน X และแกนตั้งหรือแกน Y จุดตัดของทั้งสองแกนเรียกว่า จุดกำเนิด มีพิกัดเป็น (0, 0)

สื่อประกอบการเรียนคณิตศาสตร์ — การเรียนรู้คณิตศาสตร์และการแสดงความสัมพันธ์ด้วยสัญลักษณ์

องค์ประกอบ	หน้าที่	สิ่งที่ควรจำ
แกน X	แสดงตำแหน่งในแนวนอน	ค่าบวกอยู่ทางขวาของจุดกำเนิด
แกน Y	แสดงตำแหน่งในแนวตั้ง	ค่าบวกอยู่เหนือจุดกำเนิด
จุดกำเนิด	จุดตัดของแกนทั้งสอง	มีพิกัด (0, 0)
คู่อันดับ	ระบุตำแหน่งของจุด	เขียนเป็น (x, y)

อย่าสลับลำดับพิกัดคู่อันดับ (3, 5) หมายถึงไปทางขวา 3 หน่วย แล้วขึ้น 5 หน่วย ส่วน (5, 3) หมายถึงไปทางขวา 5 หน่วย แล้วขึ้น 3 หน่วย ตำแหน่งทั้งสองไม่เหมือนกัน

2. การอ่านคู่อันดับ

คู่อันดับ (x, y) ประกอบด้วยสมาชิกสองค่า ค่าแรกคือพิกัด x และค่าที่สองคือพิกัด y วิธีหาตำแหน่งจุดคือเริ่มจากจุดกำเนิด เคลื่อนที่ตามแนวแกน X ก่อน จากนั้นจึงเคลื่อนที่ตามแนวแกน Y โดยคำนึงถึงเครื่องหมายบวกและลบ

รูปแบบคู่อันดับ

P=(x,y)

x เป็นพิกัดแนวนอน และ y เป็นพิกัดแนวตั้ง

คู่อันดับ	ทิศทางจากจุดกำเนิด	ตำแหน่ง
(3, 2)	ขวา 3 ขึ้น 2	จตุภาคที่ 1
(-3, 2)	ซ้าย 3 ขึ้น 2	จตุภาคที่ 2
(-3, -2)	ซ้าย 3 ลง 2	จตุภาคที่ 3
(3, -2)	ขวา 3 ลง 2	จตุภาคที่ 4
(0, 4)	อยู่บนแกน Y	แกน Y ด้านบวก
(5, 0)	อยู่บนแกน X	แกน X ด้านบวก

ตัวอย่างที่ 1: ระบุตำแหน่งจุด

กำหนดจุด A = (4, 3) เริ่มจากจุดกำเนิด (0, 0) เลื่อนไปทางขวา 4 หน่วย จากนั้นขึ้นด้านบน 3 หน่วย ตำแหน่งที่ได้คือจุด A ในจตุภาคที่ 1

พิกัดของจุด A

A=(4,3)

พิกัดแนวนอนเท่ากับ 4 และพิกัดแนวตั้งเท่ากับ 3

3. ตารางความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร

ตารางความสัมพันธ์ช่วยแสดงว่าค่าของตัวแปรหนึ่งสอดคล้องกับอีกตัวแปรอย่างไร เช่น ถ้า y มีค่าเป็นสองเท่าของ x เราสามารถเลือกค่า x แล้วคำนวณค่า y เพื่อนำคู่ค่าเหล่านั้นไปสร้างกราฟได้

ความสัมพันธ์แบบสองเท่า

y=2x

ค่า y เท่ากับสองเท่าของค่า x

x	วิธีคำนวณ y = 2x	y	คู่อันดับ
0	2 × 0	0	(0, 0)
1	2 × 1	2	(1, 2)
2	2 × 2	4	(2, 4)
3	2 × 3	6	(3, 6)
4	2 × 4	8	(4, 8)

จากตารางจะเห็นว่าเมื่อ x เพิ่มขึ้น 1 หน่วย ค่า y จะเพิ่มขึ้น 2 หน่วยเช่นกัน เราสามารถนำคู่อันดับทั้งหมดไปวางบนระนาบพิกัดและเชื่อมจุดเพื่อดูรูปแบบของความสัมพันธ์ได้

4. การสร้างกราฟจากสมการ

การสร้างกราฟจากสมการทำได้โดยเลือกค่าของ x คำนวณค่า y จากสมการ สร้างตารางคู่อันดับ วางแต่ละจุดลงบนระนาบพิกัด แล้วพิจารณาว่าควรเชื่อมจุดอย่างไร สำหรับสมการเชิงเส้นอย่าง y = 2x จุดทั้งหมดจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

สมการเชิงเส้นพื้นฐาน

y=mx+b

m คือความชันของเส้นตรง และ b คือค่าของ y เมื่อ x = 0

ตัวอย่างที่ 2: สร้างกราฟ y = x + 1

ขั้นที่ 1 เลือกค่า x เช่น -2, -1, 0, 1 และ 2 ขั้นที่ 2 แทนค่าลงในสมการ y = x + 1 ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์เป็นคู่อันดับ ขั้นที่ 4 วางจุดและลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้น

x	การคำนวณ	y	คู่อันดับ
-2	-2 + 1	-1	(-2, -1)
-1	-1 + 1	0	(-1, 0)
0	0 + 1	1	(0, 1)
1	1 + 1	2	(1, 2)
2	2 + 1	3	(2, 3)

ตัวอย่างสมการและจุดบนกราฟ

y=x+1

จุด (-2, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 2) และ (2, 3) อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ตรวจสอบความถูกต้องเมื่อนำคู่อันดับแต่ละคู่แทนกลับเข้าไปในสมการ ค่า x และ y ต้องเป็นไปตามความสัมพันธ์ที่กำหนด หากจุดใดไม่ตรง ให้ตรวจสอบการคำนวณก่อนนำไปวางบนกราฟ

5. ความชันและทิศทางของกราฟ

ความชัน (Slope) บอกว่าเส้นตรงเปลี่ยนระดับขึ้นหรือลงมากเพียงใดเมื่อเคลื่อนที่ในแนวนอน สำหรับจุดสองจุดที่มีพิกัดแนวนอนไม่เท่ากัน สามารถคำนวณความชันได้จากอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงในแนวตั้งต่อการเปลี่ยนแปลงในแนวนอน

สูตรความชัน

m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

ใช้เมื่อ x₂ ไม่เท่ากับ x₁ โดย (x₁, y₁) และ (x₂, y₂) เป็นจุดสองจุดบนเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 3: คำนวณความชัน

กำหนดจุด A = (1, 2) และ B = (3, 6) แทนค่าพิกัดของทั้งสองจุดลงในสูตร แล้วหาผลต่างของพิกัด y หารด้วยผลต่างของพิกัด x

แทนค่าลงในสูตรความชัน

m=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2

เมื่อ x เพิ่มขึ้น 1 หน่วย y จะเพิ่มขึ้น 2 หน่วยบนเส้นตรงนี้

ค่าความชัน	ลักษณะกราฟ	ความหมาย
m > 0	ลาดขึ้นจากซ้ายไปขวา	เมื่อ x เพิ่ม y เพิ่ม
m < 0	ลาดลงจากซ้ายไปขวา	เมื่อ x เพิ่ม y ลด
m = 0	เส้นแนวนอน	ค่า y คงที่
ไม่กำหนด	เส้นแนวตั้ง	ค่า x คงที่ และสูตรความชันใช้ไม่ได้

6. ความสัมพันธ์เชิงเส้นในชีวิตประจำวัน

เราสามารถใช้กราฟอธิบายสถานการณ์จริงได้ เช่น ค่าโดยสารที่ประกอบด้วยค่าธรรมเนียมเริ่มต้นและค่าใช้จ่ายตามระยะทาง หรือรายรับที่เพิ่มขึ้นตามจำนวนสินค้าที่ขาย การกำหนดตัวแปรให้ชัดเจนช่วยให้สมการและกราฟสื่อความหมายได้ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4: คำนวณค่าบริการ

สมมติว่าบริการหนึ่งคิดค่าธรรมเนียมเริ่มต้น 20 บาท และคิดเพิ่มกิโลเมตรละ 5 บาท หากเดินทาง x กิโลเมตร ค่าใช้จ่ายรวม y บาทจะเขียนได้เป็น y = 5x + 20

สมการค่าใช้จ่าย

y=5x+20

x คือระยะทางหน่วยกิโลเมตร และ y คือค่าใช้จ่ายหน่วยบาท

ระยะทาง x (กม.)	ค่าใช้จ่าย 5x + 20	ค่าใช้จ่าย y (บาท)
0	5(0) + 20	20
1	5(1) + 20	25
2	5(2) + 20	30
3	5(3) + 20	35
4	5(4) + 20	40

กราฟของสมการนี้เป็นเส้นตรงที่เริ่มต้นที่ค่า y = 20 เมื่อ x = 0 และเพิ่มขึ้น 5 บาทต่อระยะทาง 1 กิโลเมตร ตัวอย่างนี้เป็นแบบจำลองสมมติ โดยในการใช้งานจริงควรตรวจสอบเงื่อนไขค่าบริการและระยะทางที่ใช้ได้ด้วย

7. การอ่านกราฟอย่างมีเหตุผล

การอ่านกราฟไม่ได้มีเพียงการดูว่าจุดอยู่ตรงไหน แต่ต้องอ่านชื่อแกน หน่วย ช่วงตัวเลข และความสัมพันธ์ของข้อมูลด้วย กราฟที่ไม่มีหน่วยหรือกำหนดช่วงแกนไม่สม่ำเสมออาจทำให้ตีความผิดได้ จึงควรตรวจสอบองค์ประกอบเหล่านี้ก่อนสรุปผล

ตรวจสอบชื่อกราฟและความหมายของตัวแปร
อ่านชื่อแกน X และแกน Y รวมถึงหน่วยที่ใช้
ตรวจสอบช่วงตัวเลขบนแกนทั้งสอง
อ่านค่าจากจุดหรือเส้นกราฟอย่างระมัดระวัง
แยกให้ออกระหว่างข้อมูลที่แสดงกับข้อสรุปที่เราตีความ

กราฟไม่ใช่หลักฐานของเหตุและผลเสมอไปแม้ข้อมูลสองชุดจะเปลี่ยนแปลงไปในทิศทางเดียวกัน แต่ไม่ได้หมายความว่าตัวแปรหนึ่งเป็นสาเหตุของอีกตัวแปรหนึ่งโดยตรง ต้องพิจารณาข้อมูลและเงื่อนไขอื่นประกอบ

8. สรุปสูตรและแนวคิดสำคัญ

หัวข้อ	สูตรหรือหลักการ	การนำไปใช้
คู่อันดับ	(x, y)	ระบุตำแหน่งบนระนาบพิกัด
สมการเชิงเส้น	y = mx + b	สร้างตารางค่าและกราฟเส้นตรง
ความชัน	m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)	วัดการเปลี่ยนแปลงในแนวตั้งเทียบกับแนวนอน
จุดตัดแกน Y	เมื่อ x = 0 จะได้ y = b	หาตำแหน่งที่เส้นตรงตัดแกน Y
ตารางความสัมพันธ์	แทนค่า x เพื่อหาค่า y	สร้างคู่อันดับก่อนวาดกราฟ

9. แบบฝึกหัดท้ายบท

ลองตอบคำถามต่อไปนี้ด้วยตนเอง ก่อนเปิดดูเฉลย ให้แสดงวิธีคิดและตรวจสอบคำตอบโดยแทนค่ากลับในสมการเมื่อทำได้

ข้อ 1: จุด A = (4, -2) อยู่ในจตุภาคใด

เฉลย: พิกัด x เป็นบวกและพิกัด y เป็นลบ ดังนั้นจุด A อยู่ในจตุภาคที่ 4

ข้อ 2: ถ้า y = 3x เมื่อ x = 4 ค่า y เท่ากับเท่าใด

เฉลย: แทน x = 4 จะได้ y = 3(4) = 12 ดังนั้นคู่อันดับคือ (4, 12)

ข้อ 3: ถ้า y = x + 2 และ x = -3 ค่า y เท่ากับเท่าใด

เฉลย: y = -3 + 2 = -1 ดังนั้นคู่อันดับคือ (-3, -1)

ข้อ 4: จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (1, 2) และ (4, 8)

เฉลย: m = (8 - 2)/(4 - 1) = 6/3 = 2 ดังนั้นความชันเท่ากับ 2

ข้อ 5: สมการ y = 4x + 7 มีความชันและจุดตัดแกน Y เท่าใด

เฉลย: เปรียบเทียบกับ y = mx + b จะได้ m = 4 และ b = 7 ดังนั้นความชันเท่ากับ 4 และกราฟตัดแกน Y ที่จุด (0, 7)

ข้อ 6: ค่าใช้จ่าย y = 10x + 15 เมื่อ x = 6 เป็นเท่าใด

เฉลย: y = 10(6) + 15 = 60 + 15 = 75 ดังนั้นค่าใช้จ่ายเท่ากับ 75 หน่วยเงินตามโจทย์กำหนด

ข้อ 7: เมื่อ x เพิ่มขึ้น 1 หน่วย และ y เพิ่มขึ้น 3 หน่วยบนเส้นตรง ความชันเท่ากับเท่าใด

เฉลย: ความชันเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ดังนั้น m = 3/1 = 3

ข้อ 8: จุด (0, -5) อยู่บนแกนใด

เฉลย: พิกัด x เท่ากับ 0 ดังนั้นจุดนี้อยู่บนแกน Y ด้านลบ

ตรวจสอบความเข้าใจหากคุณสามารถอ่านคู่อันดับ คำนวณค่าจากสมการ สร้างตารางความสัมพันธ์ และหาความชันจากจุดสองจุดได้ แสดงว่าคุณมีพื้นฐานสำคัญสำหรับการศึกษาฟังก์ชันและสมการในระดับที่สูงขึ้น

เตรียมพบกับ EP11

EP11 จะต่อยอดจากกราฟและความสัมพันธ์ไปสู่สถิติพื้นฐานและการวิเคราะห์ข้อมูล โดยเรียนรู้ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม พิสัย และวิธีเลือกใช้ค่าทางสถิติเพื่อสรุปข้อมูลในชีวิตประจำวัน

ตัวเลขช่วยบอกค่า ส่วนกราฟช่วยให้เราเห็นความสัมพันธ์และรูปแบบที่ซ่อนอยู่ในข้อมูล

Reach within 500px of the page end and stay for at least 5 minutes to earn EXP once per day.

⏳ Reading timer is running...