Article · math-article
พื้นที่และปริมาตร
คณิตศาสตร์พื้นฐาน
เรียนรู้การหาพื้นที่รูปเรขาคณิต พื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรงสามมิติ การเลือกใช้สูตรและหน่วยให้ถูกต้อง พร้อมตัวอย่างจากชีวิตประจำวันและแบบฝึกหัด
EP17: พื้นที่และปริมาตร
พื้นที่และปริมาตรเป็นแนวคิดสำคัญที่พบได้บ่อยในชีวิตประจำวัน เช่น การคำนวณจำนวนกระเบื้องสำหรับปูพื้น ปริมาณสีที่ใช้ทาผนัง ความจุของกล่อง หรือปริมาณน้ำที่บรรจุในถัง แม้จะเกี่ยวข้องกับขนาดของสิ่งต่าง ๆ เหมือนกัน แต่พื้นที่และปริมาตรวัดคนละลักษณะ จึงต้องเลือกสูตรและหน่วยให้เหมาะสม
เป้าหมายการเรียนรู้เมื่อเรียนจบบทนี้ คุณจะสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปเรขาคณิตพื้นฐาน หาพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากและทรงกระบอก แปลงหน่วยพื้นฐาน และนำสูตรไปแก้ปัญหาในชีวิตจริงได้
1. ความแตกต่างระหว่างความยาว พื้นที่ และปริมาตร
ความยาววัดระยะทางในหนึ่งมิติ พื้นที่วัดขนาดของบริเวณสองมิติ ส่วนปริมาตรวัดพื้นที่ว่างที่วัตถุสามมิติครอบครองหรือความจุเชิงปริมาตร หน่วยของแต่ละปริมาณจึงแตกต่างกัน
| ปริมาณ | ตัวอย่างหน่วย | ตัวอย่างการใช้งาน |
|---|---|---|
| ความยาว | เซนติเมตร (cm), เมตร (m) | ความยาวของโต๊ะ |
| พื้นที่ | ตารางเซนติเมตร (cm²), ตารางเมตร (m²) | พื้นที่พื้นห้อง |
| ปริมาตร | ลูกบาศก์เซนติเมตร (cm³), ลูกบาศก์เมตร (m³) | ปริมาตรกล่องเก็บของ |
อย่าสับสนหน่วยพื้นที่ใช้หน่วยกำลังสอง เช่น cm² ส่วนปริมาตรใช้หน่วยกำลังสาม เช่น cm³ การเขียนหน่วยผิดอาจทำให้สื่อความหมายของคำตอบคลาดเคลื่อนได้ แม้ตัวเลขจะคำนวณถูกต้องก็ตาม
2. พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าและสี่เหลี่ยมจัตุรัส
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าหาได้จากความกว้างคูณความยาว ส่วนสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน จึงใช้ความยาวด้านคูณตัวเอง
สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า
A=lwA คือพื้นที่ l คือความยาว และ w คือความกว้าง
สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส
A=s^2s คือความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ตัวอย่างที่ 1: หาพื้นที่พื้นห้อง
ห้องหนึ่งมีความยาว 6 เมตร และความกว้าง 4 เมตร จงหาพื้นที่พื้นห้อง โดยสมมติว่าพื้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
คำนวณพื้นที่
A=6\times4=24\text{ m}^2พื้นที่พื้นห้องเท่ากับ 24 ตารางเมตร
หากต้องการซื้อกระเบื้องปูพื้น ค่านี้เป็นข้อมูลตั้งต้นสำหรับประมาณจำนวนกระเบื้อง แต่การคำนวณจำนวนจริงยังต้องพิจารณาขนาดกระเบื้อง แนวการปู และเศษวัสดุที่อาจเกิดขึ้น
3. พื้นที่สามเหลี่ยม
พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณระหว่างความยาวฐานกับความสูงที่ตั้งฉากกับฐานนั้น ความสูงต้องตั้งฉากกับฐาน ไม่จำเป็นต้องเป็นด้านเอียงของสามเหลี่ยม
สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม
A=\frac{1}{2}bhb คือความยาวฐาน และ h คือความสูงที่ตั้งฉากกับฐาน
ตัวอย่างที่ 2: พื้นที่ป้ายสามเหลี่ยม
ป้ายรูปสามเหลี่ยมมีฐานยาว 10 เซนติเมตร และสูง 6 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ของป้าย
คำนวณพื้นที่
A=\frac{1}{2}\times10\times6=30\text{ cm}^2พื้นที่ป้ายเท่ากับ 30 ตารางเซนติเมตร
4. พื้นที่วงกลม
วงกลมมีจุดศูนย์กลางและรัศมี ซึ่งเป็นระยะจากจุดศูนย์กลางไปยังขอบวงกลมทุกจุด พื้นที่วงกลมขึ้นอยู่กับรัศมีและค่าคงที่ π ซึ่งมีค่าประมาณ 3.14159
สูตรพื้นที่วงกลม
A=\pi r^2r คือรัศมีของวงกลม
ตัวอย่างที่ 3: พื้นที่แปลงดอกไม้ทรงกลม
แปลงดอกไม้เป็นรูปวงกลม มีรัศมี 3 เมตร จงหาพื้นที่โดยใช้ π ≈ 3.14
คำนวณพื้นที่วงกลม
A\approx3.14\times3^2=28.26\text{ m}^2พื้นที่ประมาณ 28.26 ตารางเมตร
รัศมีกับเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นผ่านศูนย์กลางยาวเป็นสองเท่าของรัศมี หากโจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลางมา ต้องหารด้วย 2 ก่อนนำไปแทนค่าในสูตรพื้นที่วงกลม
5. พื้นที่ผิวคืออะไร
พื้นที่ผิวคือพื้นที่รวมของผิวด้านนอกของรูปทรงสามมิติ เช่น พื้นที่กระดาษที่ต้องใช้ห่อกล่องโดยปิดทุกด้าน หรือพื้นที่ผิวด้านนอกของภาชนะ การหาพื้นที่ผิวต้องพิจารณาว่ารูปทรงมีผิวกี่ส่วนและแต่ละส่วนมีพื้นที่เท่าใด
พื้นที่ผิวของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีผิว 6 ด้าน โดยผิวที่อยู่ตรงข้ามกันมีพื้นที่เท่ากัน หากกำหนดความยาว l ความกว้าง w และความสูง h พื้นที่ผิวรวมคือผลรวมพื้นที่ของด้านทั้งหก
สูตรพื้นที่ผิวทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
SA=2(lw+lh+wh)SA คือพื้นที่ผิวรวม l คือความยาว w คือความกว้าง และ h คือความสูง
ตัวอย่างที่ 4: หาพื้นที่กระดาษสำหรับห่อกล่อง
กล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีความยาว 5 เซนติเมตร ความกว้าง 3 เซนติเมตร และความสูง 2 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวรวม โดยไม่คิดส่วนเกินสำหรับการพับหรือการติดเทป
คำนวณพื้นที่ผิว
SA=2(5\times3+5\times2+3\times2)คำนวณพื้นที่ของคู่ผิวที่มีขนาดเท่ากัน
คำตอบ
SA=2(15+10+6)=62\text{ cm}^2พื้นที่ผิวรวมของกล่องเท่ากับ 62 ตารางเซนติเมตร
6. ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ปริมาตรบอกขนาดของพื้นที่สามมิติที่วัตถุครอบครอง สำหรับทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก คำนวณได้จากความยาวคูณความกว้างคูณความสูง โดยมิติทั้งสามต้องใช้หน่วยความยาวเดียวกันก่อนคำนวณ
สูตรปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
V=lwhV คือปริมาตร l คือความยาว w คือความกว้าง และ h คือความสูง
ตัวอย่างที่ 5: ปริมาตรกล่องเก็บของ
กล่องมีความยาว 8 เซนติเมตร ความกว้าง 4 เซนติเมตร และความสูง 3 เซนติเมตร จงหาปริมาตรของกล่อง
คำนวณปริมาตร
V=8\times4\times3=96\text{ cm}^3ปริมาตรของกล่องเท่ากับ 96 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ปริมาตรนี้เป็นค่าทางเรขาคณิตของกล่อง หากต้องการหาความจุที่ใส่ของได้จริง ต้องคำนึงถึงความหนาของผนังกล่องและพื้นที่ภายในที่ใช้ได้ด้วย
7. ปริมาตรของทรงกระบอก
ทรงกระบอกมีฐานเป็นวงกลมสองฐานที่เท่ากันและขนานกัน ปริมาตรหาได้จากพื้นที่ฐานคูณความสูง เนื่องจากฐานเป็นวงกลม จึงใช้สูตรพื้นที่วงกลมในการคำนวณ
สูตรปริมาตรทรงกระบอก
V=\pi r^2hr คือรัศมีของฐานวงกลม และ h คือความสูงตั้งฉากระหว่างฐาน
ตัวอย่างที่ 6: ปริมาตรกระป๋องทรงกระบอก
กระป๋องทรงกระบอกมีรัศมี 2 เซนติเมตร และสูง 10 เซนติเมตร จงหาปริมาตรโดยใช้ π ≈ 3.14
คำนวณปริมาตร
V\approx3.14\times2^2\times10แทนรัศมีและความสูงลงในสูตร
คำตอบ
V\approx3.14\times4\times10=125.6\text{ cm}^3ปริมาตรประมาณ 125.6 ลูกบาศก์เซนติเมตร
8. การแปลงหน่วยพื้นที่และปริมาตร
ก่อนคำนวณพื้นที่หรือปริมาตร ควรตรวจสอบว่าความยาวทุกด้านใช้หน่วยเดียวกัน หากมีหน่วยต่างกันให้แปลงหน่วยก่อน เช่น 1 เมตรเท่ากับ 100 เซนติเมตร แต่เมื่อแปลงเป็นหน่วยพื้นที่หรือปริมาตร ต้องยกกำลังตัวคูณตามมิติด้วย
การแปลงหน่วยพื้นที่
1\text{ m}^2=100\times100=10{,}000\text{ cm}^2หนึ่งตารางเมตรเท่ากับหนึ่งหมื่นตารางเซนติเมตร
การแปลงหน่วยปริมาตร
1\text{ m}^3=100\times100\times100=1{,}000{,}000\text{ cm}^3หนึ่งลูกบาศก์เมตรเท่ากับหนึ่งล้านลูกบาศก์เซนติเมตร
หลักการจำหน่วยเมื่อเปลี่ยนหน่วยความยาวจากเมตรเป็นเซนติเมตร ให้คูณ 100 แต่สำหรับพื้นที่ต้องคูณ 100² และสำหรับปริมาตรต้องคูณ 100³ เพราะพื้นที่มีสองมิติและปริมาตรมีสามมิติ
9. การเลือกใช้สูตรให้ตรงกับโจทย์
| สิ่งที่โจทย์ต้องการหา | สูตรที่ใช้ | หน่วยตัวอย่าง |
|---|---|---|
| พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า | A = lw | m² |
| พื้นที่สามเหลี่ยม | A = bh/2 | cm² |
| พื้นที่วงกลม | A = πr² | m² |
| พื้นที่ผิวทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก | SA = 2(lw + lh + wh) | cm² |
| ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก | V = lwh | cm³ |
| ปริมาตรทรงกระบอก | V = πr²h | cm³ |
- อ่านโจทย์ให้ชัดว่าต้องการพื้นที่ พื้นที่ผิว หรือปริมาตร
- วาดรูปอย่างง่ายและใส่ค่าความยาวที่ทราบ
- ตรวจสอบว่าหน่วยของมิติทุกด้านตรงกัน
- เลือกสูตรตามชนิดของรูปทรง
- แทนค่าและคำนวณตามลำดับ
- เขียนหน่วยกำลังสองหรือกำลังสามให้ถูกต้อง
- ตรวจสอบว่าคำตอบมีขนาดสมเหตุสมผลหรือไม่
10. แบบฝึกหัดท้ายบท
ลองทำโจทย์ด้วยตนเองก่อนเปิดดูเฉลย และอย่าลืมเขียนหน่วยกำกับคำตอบทุกข้อ
ข้อ 1: สี่เหลี่ยมผืนผ้ายาว 9 เมตร กว้าง 4 เมตร มีพื้นที่เท่าใด
เฉลย: A = 9 × 4 = 36 ตารางเมตร
ข้อ 2: สี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 7 เซนติเมตร มีพื้นที่เท่าใด
เฉลย: A = 7² = 49 ตารางเซนติเมตร
ข้อ 3: สามเหลี่ยมมีฐาน 12 เซนติเมตรและสูง 5 เซนติเมตร มีพื้นที่เท่าใด
เฉลย: A = 1/2 × 12 × 5 = 30 ตารางเซนติเมตร
ข้อ 4: วงกลมมีรัศมี 4 เมตร จงหาพื้นที่โดยใช้ π ≈ 3.14
เฉลย: A ≈ 3.14 × 4² = 50.24 ตารางเมตร
ข้อ 5: กล่องยาว 6 ซม. กว้าง 3 ซม. และสูง 2 ซม. มีปริมาตรเท่าใด
เฉลย: V = 6 × 3 × 2 = 36 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ข้อ 6: กล่องยาว 4 ซม. กว้าง 3 ซม. และสูง 2 ซม. มีพื้นที่ผิวรวมเท่าใด
เฉลย: SA = 2(4 × 3 + 4 × 2 + 3 × 2) = 2(12 + 8 + 6) = 52 ตารางเซนติเมตร
ข้อ 7: ทรงกระบอกมีรัศมี 3 ซม. สูง 5 ซม. มีปริมาตรเท่าใด โดยใช้ π ≈ 3.14
เฉลย: V ≈ 3.14 × 3² × 5 = 141.3 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ข้อ 8: 2 ตารางเมตรเท่ากับกี่ตารางเซนติเมตร
เฉลย: 1 ตารางเมตร = 10,000 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น 2 ตารางเมตร = 20,000 ตารางเซนติเมตร
ข้อ 9: 1 ลูกบาศก์เมตรเท่ากับกี่ลูกบาศก์เซนติเมตร
เฉลย: 1 ลูกบาศก์เมตร = 100 × 100 × 100 = 1,000,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ข้อ 10: หากต้องการทาสีเฉพาะพื้นห้อง ควรคำนวณพื้นที่หรือปริมาตร
เฉลย: คำนวณพื้นที่ของพื้นห้อง เพราะต้องการทราบขนาดบริเวณสองมิติที่จะทาสี ไม่ใช่ปริมาตรของห้อง
11. สรุปบทเรียน
- พื้นที่ใช้วัดขนาดของบริเวณสองมิติและมีหน่วยกำลังสอง
- พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับความยาวคูณความกว้าง
- พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานคูณความสูงตั้งฉาก
- พื้นที่วงกลมเท่ากับ π คูณรัศมีกำลังสอง
- พื้นที่ผิวรวมคือผลรวมพื้นที่ของผิวทุกด้านที่ต้องการนับ
- ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากเท่ากับความยาวคูณความกว้างคูณความสูง
- ปริมาตรทรงกระบอกเท่ากับ π คูณรัศมีกำลังสองคูณความสูง
- การแปลงหน่วยพื้นที่และปริมาตรต้องคำนึงถึงกำลังสองและกำลังสาม
นำความรู้ไปใช้เมื่อคำนวณพื้นที่และปริมาตรได้อย่างถูกต้อง คุณจะสามารถประมาณวัสดุที่ต้องใช้ วางแผนพื้นที่ใช้งาน และประเมินความจุของภาชนะได้ดีขึ้น อย่าลืมตรวจสอบหน่วยและเงื่อนไขของโจทย์ทุกครั้ง
เตรียมพบกับ EP18
EP18 จะพาเรียนรู้สถิติพื้นฐาน การอ่านและแปลความหมายข้อมูล ตารางและกราฟ ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยม เพื่อใช้ข้อมูลประกอบการตัดสินใจอย่างมีเหตุผล
สูตรที่ถูกต้องมีความสำคัญ แต่การเข้าใจว่ากำลังวัดอะไรและใช้หน่วยใด คือจุดเริ่มต้นของคำตอบที่ถูกต้อง
อ่านจนถึงระยะ 500px ก่อนท้ายหน้าและอยู่ในหน้านี้อย่างน้อย 5 นาที เพื่อรับ EXP วันละครั้ง
⏳ กำลังจับเวลาอ่าน...