Article · math-article

สถิติพื้นฐานและการวิเคราะห์ข้อมูล

คณิตศาสตร์พื้นฐาน

EP11 เรียนรู้การจัดเก็บข้อมูล การหาค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม พิสัย และการเลือกใช้ค่าสถิติเพื่อสรุปข้อมูลอย่างมีเหตุผล พร้อมตัวอย่างคำนวณและแบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

EP11: สถิติพื้นฐานและการวิเคราะห์ข้อมูล

ใน EP10 เราเรียนรู้การใช้กราฟพิกัดฉากเพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร ในบทนี้เราจะนำทักษะการอ่านข้อมูลมาต่อยอดด้วยสถิติ ซึ่งช่วยให้เราสรุปข้อมูลจำนวนมากให้เข้าใจง่ายขึ้น ไม่ว่าจะเป็นคะแนนสอบ รายรับรายจ่าย เวลาในการเดินทาง หรือผลสำรวจความคิดเห็น

เป้าหมายการเรียนรู้เมื่อเรียนจบบทนี้ คุณจะสามารถจัดเรียงข้อมูล คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม และพิสัย พร้อมอธิบายได้ว่าค่าแต่ละชนิดเหมาะกับสถานการณ์ใด

1. สถิติคืออะไร

สถิติ (Statistics) เป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการเก็บรวบรวม จัดระเบียบ วิเคราะห์ และตีความข้อมูล เพื่อช่วยให้เราเข้าใจสถานการณ์และตัดสินใจอย่างมีเหตุผล ข้อมูลอาจอยู่ในรูปตัวเลข เช่น คะแนนสอบ หรือข้อมูลประเภทข้อความ เช่น ความคิดเห็นและประเภทสินค้าที่ผู้คนชื่นชอบ

ขั้นตอน	ความหมาย	ตัวอย่าง
เก็บข้อมูล	รวบรวมข้อเท็จจริงที่ต้องการศึกษา	บันทึกคะแนนสอบของนักเรียน
จัดระเบียบ	เรียงหรือแบ่งกลุ่มข้อมูล	เรียงคะแนนจากน้อยไปมาก
วิเคราะห์	คำนวณหรือหาความสัมพันธ์	หาคะแนนเฉลี่ยของห้อง
ตีความ	อธิบายความหมายของผลลัพธ์	เปรียบเทียบผลการเรียนระหว่างกลุ่ม

ข้อมูลที่ดีต้องน่าเชื่อถือการสรุปผลจากข้อมูลที่น้อยเกินไป เลือกเฉพาะข้อมูลบางส่วน หรือเก็บข้อมูลจากกลุ่มที่ไม่เหมาะสม อาจทำให้ข้อสรุปคลาดเคลื่อน ควรพิจารณาที่มาของข้อมูลและวิธีการเก็บข้อมูลทุกครั้ง

2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean) เป็นค่าที่ได้จากการนำข้อมูลทุกค่ามาบวกกัน แล้วหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด เหมาะสำหรับสรุปค่ากลางของข้อมูลที่เป็นตัวเลข แต่หากมีค่าที่สูงหรือต่ำผิดปกติมาก ค่าเฉลี่ยอาจเปลี่ยนแปลงอย่างเห็นได้ชัด

สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต

\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}

ผลรวมของข้อมูลทุกค่า หารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด n

ตัวอย่างที่ 1: หาค่าเฉลี่ยคะแนนสอบ

นักเรียนคนหนึ่งได้คะแนนแบบฝึกหัด 5 ครั้ง ได้แก่ 6, 8, 7, 9 และ 10 คะแนน จงหาค่าเฉลี่ยของคะแนนทั้งหมด

ขั้นที่ 1 หาผลรวม

6+8+7+9+10=40

คะแนนทั้งห้าครั้งรวมกันได้ 40 คะแนน

ขั้นที่ 2 หารด้วยจำนวนข้อมูล

\bar{x}=\frac{40}{5}=8

ค่าเฉลี่ยของคะแนนทั้งห้าครั้งเท่ากับ 8 คะแนน

สรุปตัวอย่างค่าเฉลี่ยเท่ากับ 8 คะแนน หมายถึงผลรวมคะแนนหารเฉลี่ยตามจำนวนครั้งเท่ากับ 8 ไม่ได้หมายความว่าทุกครั้งต้องได้ 8 คะแนน

3. มัธยฐาน

มัธยฐาน (Median) คือค่าที่อยู่ตรงกลางของข้อมูลเมื่อเรียงจากน้อยไปมากหรือมากไปน้อย หากจำนวนข้อมูลเป็นเลขคี่ จะมีข้อมูลตรงกลางเพียงค่าเดียว แต่หากจำนวนข้อมูลเป็นเลขคู่ มัธยฐานคือค่าเฉลี่ยของข้อมูลสองค่าที่อยู่ตรงกลาง

ตำแหน่งมัธยฐานเมื่อจำนวนข้อมูลเป็นเลขคี่

\text{ตำแหน่งมัธยฐาน}=\frac{n+1}{2}

ใช้หาตำแหน่งของข้อมูลตรงกลางหลังจากเรียงข้อมูลแล้ว เมื่อ n เป็นจำนวนคี่

ตัวอย่างที่ 2: จำนวนข้อมูลเป็นเลขคี่

กำหนดข้อมูล 3, 5, 7, 9, 11 ข้อมูลเรียงจากน้อยไปมากอยู่แล้ว มีทั้งหมด 5 ค่า ดังนั้นตำแหน่งมัธยฐานคือ (5 + 1) ÷ 2 = 3 ค่าที่อยู่ตำแหน่งที่ 3 คือ 7

มัธยฐานของข้อมูลห้าค่า

\text{Median}=7

ค่าที่อยู่ตรงกลางหลังจากเรียงข้อมูลแล้ว

ตัวอย่างที่ 3: จำนวนข้อมูลเป็นเลขคู่

กำหนดข้อมูล 2, 4, 6, 10 มีข้อมูลทั้งหมด 4 ค่า ค่าตรงกลางสองค่าคือ 4 และ 6 จึงนำมาหาค่าเฉลี่ยเพื่อหามัธยฐาน

มัธยฐานของข้อมูลสี่ค่า

\text{Median}=\frac{4+6}{2}=5

เมื่อข้อมูลมีจำนวนเป็นเลขคู่ ให้นำข้อมูลสองค่าตรงกลางมาหาค่าเฉลี่ย

4. ฐานนิยม

ฐานนิยม (Mode) คือค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุดในชุดข้อมูล ข้อมูลชุดหนึ่งอาจมีฐานนิยมหนึ่งค่า มีฐานนิยมหลายค่า หรือไม่มีฐานนิยมที่เด่นชัด หากทุกค่าปรากฏจำนวนครั้งเท่ากัน จะไม่มีค่าที่ปรากฏบ่อยกว่าค่าอื่น

ตัวอย่างการหาฐานนิยม

2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 5

เลข 3 ปรากฏสองครั้ง ขณะที่ค่าอื่นปรากฏเพียงครั้งเดียว ดังนั้นฐานนิยมคือ 3

ชุดข้อมูล	ฐานนิยม	เหตุผล
1, 2, 2, 3, 4	2	ปรากฏบ่อยที่สุด
1, 1, 3, 3, 5	1 และ 3	ทั้งสองค่าปรากฏบ่อยเท่ากัน
2, 4, 6, 8	ไม่มีฐานนิยมเด่นชัด	ทุกค่าปรากฏครั้งเดียว

ฐานนิยมมีประโยชน์กับข้อมูลที่เป็นหมวดหมู่ด้วย เช่น สีที่ได้รับความนิยมมากที่สุดหรือขนาดเสื้อที่ขายได้มากที่สุด เพราะไม่จำเป็นต้องนำข้อมูลมาบวกหรือหาร

5. พิสัย

พิสัย (Range) ใช้บอกการกระจายของข้อมูลอย่างง่าย โดยคำนวณจากค่ามากที่สุดลบด้วยค่าน้อยที่สุด พิสัยที่มากแสดงว่าระยะห่างระหว่างค่าสุดขั้วกว้างขึ้น แต่ไม่ได้บอกว่าข้อมูลทุกค่ากระจายอยู่ห่างกันเพียงใด

สูตรพิสัย

R=x_{\max}-x_{\min}

ค่ามากที่สุดลบด้วยค่าน้อยที่สุด

ตัวอย่างที่ 4: หาพิสัยของคะแนน

คะแนนชุดหนึ่งคือ 12, 15, 18, 20 และ 25 คะแนน ค่ามากที่สุดคือ 25 และค่าน้อยที่สุดคือ 12 จึงนำ 25 ลบด้วย 12

คำนวณพิสัย

R=25-12=13

พิสัยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 13 คะแนน

6. เปรียบเทียบค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม และพิสัย

ค่าสถิติแต่ละชนิดตอบคำถามต่างกัน ค่าเฉลี่ยสรุปผลรวมต่อจำนวนข้อมูล มัธยฐานแสดงตำแหน่งกลาง ฐานนิยมบอกค่าที่พบมากที่สุด และพิสัยบอกช่วงห่างระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุด การเลือกใช้จึงขึ้นอยู่กับลักษณะข้อมูลและสิ่งที่ต้องการทราบ

ค่าสถิติ	คำถามที่ตอบ	ข้อควรระวัง
ค่าเฉลี่ย	ผลรวมต่อจำนวนข้อมูลเป็นเท่าใด	อาจได้รับผลกระทบจากค่าผิดปกติ
มัธยฐาน	ค่าตรงกลางเมื่อเรียงข้อมูลคืออะไร	ต้องเรียงข้อมูลก่อน
ฐานนิยม	ค่าใดพบมากที่สุด	อาจมีหลายค่าหรือไม่มีค่าที่เด่นชัด
พิสัย	ค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดห่างกันเท่าใด	ใช้เพียงค่าสุดขั้วสองค่า

7. เมื่อข้อมูลมีค่าผิดปกติ

พิจารณาข้อมูลรายได้สมมติของคนห้าคน ได้แก่ 10, 12, 13, 15 และ 100 หน่วย ค่า 100 สูงกว่าค่าอื่นมาก จึงทำให้ค่าเฉลี่ยสูงขึ้นอย่างเห็นได้ชัด ขณะที่มัธยฐานยังเป็นค่าตรงกลางของชุดข้อมูล การดูทั้งค่าเฉลี่ยและมัธยฐานช่วยให้เข้าใจลักษณะข้อมูลได้รอบด้านกว่าใช้ค่าใดค่าหนึ่งเพียงอย่างเดียว

ค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่มีค่าสูงผิดปกติ

\bar{x}=\frac{10+12+13+15+100}{5}=30

ค่าเฉลี่ยเท่ากับ 30 หน่วย แม้ข้อมูลส่วนใหญ่จะอยู่ระหว่าง 10 ถึง 15

มัธยฐานของชุดข้อมูลเดียวกัน

\text{Median}=13

ข้อมูลเรียงแล้วเป็น 10, 12, 13, 15, 100 โดยค่าตรงกลางคือ 13

หลักการเลือกค่าสถิติหากข้อมูลมีค่าผิดปกติที่ส่งผลต่อค่าเฉลี่ยมาก ควรพิจารณามัธยฐานประกอบด้วย แต่การเลือกค่าสถิติต้องสอดคล้องกับคำถามและลักษณะข้อมูล ไม่ควรตัดข้อมูลทิ้งโดยไม่มีเหตุผล

8. ตัวอย่างการวิเคราะห์ข้อมูลแบบครบขั้นตอน

ครูบันทึกเวลาที่นักเรียน 7 คนใช้ทำแบบฝึกหัดเป็นนาที ได้แก่ 12, 15, 10, 18, 15, 20 และ 15 นาที เราจะจัดเรียงข้อมูลและคำนวณค่าสถิติสำคัญเพื่ออธิบายชุดข้อมูลนี้

ขั้นที่ 1 เรียงข้อมูล

10,\ 12,\ 15,\ 15,\ 15,\ 18,\ 20

เรียงจากน้อยไปมากเพื่อหามัธยฐานได้ง่ายขึ้น

ขั้นที่ 2 หาค่าเฉลี่ย

\bar{x}=\frac{12+15+10+18+15+20+15}{7}=\frac{105}{7}=15

เวลาเฉลี่ยเท่ากับ 15 นาที

ขั้นที่ 3 หามัธยฐานและฐานนิยม

\text{Median}=15,\qquad \text{Mode}=15

ข้อมูลมี 7 ค่า ค่าตรงกลางเป็น 15 และเลข 15 ปรากฏมากที่สุด

ขั้นที่ 4 หาพิสัย

R=20-10=10

เวลาที่มากที่สุดและน้อยที่สุดต่างกัน 10 นาที

จากข้อมูลตัวอย่างนี้ เราสรุปได้ว่าเวลาเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมเท่ากับ 15 นาที ส่วนพิสัยเท่ากับ 10 นาที อย่างไรก็ตาม ข้อมูลจากนักเรียนเพียง 7 คนยังไม่เพียงพอที่จะสรุปว่านักเรียนทั้งหมดในโรงเรียนใช้เวลาทำแบบฝึกหัดเท่ากัน

9. แบบฝึกหัดท้ายบท

ลองทำโจทย์ต่อไปนี้ด้วยตนเอง แล้วเปิดดูเฉลยเพื่อตรวจสอบวิธีคิด

ข้อ 1: จงหาค่าเฉลี่ยของ 4, 6, 8, 10 และ 12

เฉลย: ผลรวมเท่ากับ 40 มีข้อมูล 5 ค่า ดังนั้นค่าเฉลี่ย = 40 ÷ 5 = 8

ข้อ 2: จงหามัธยฐานของ 9, 3, 7, 5 และ 11

เฉลย: เรียงข้อมูลเป็น 3, 5, 7, 9, 11 ค่าตรงกลางคือ 7 ดังนั้นมัธยฐานเท่ากับ 7

ข้อ 3: จงหามัธยฐานของ 2, 8, 4 และ 10

เฉลย: เรียงข้อมูลเป็น 2, 4, 8, 10 ค่าตรงกลางคือ 4 และ 8 ดังนั้นมัธยฐาน = (4 + 8) ÷ 2 = 6

ข้อ 4: จงหาฐานนิยมของ 1, 2, 2, 3, 4, 2 และ 5

เฉลย: เลข 2 ปรากฏ 3 ครั้ง ซึ่งมากกว่าค่าอื่น ดังนั้นฐานนิยมคือ 2

ข้อ 5: จงหาพิสัยของ 14, 7, 21, 9 และ 18

เฉลย: ค่ามากที่สุดคือ 21 ค่าน้อยที่สุดคือ 7 ดังนั้นพิสัย = 21 - 7 = 14

ข้อ 6: ข้อมูล 5, 5, 6, 7 และ 27 มีค่าเฉลี่ยเท่าใด

เฉลย: ผลรวมเท่ากับ 50 มีข้อมูล 5 ค่า ดังนั้นค่าเฉลี่ย = 50 ÷ 5 = 10

ข้อ 7: จากข้อมูล 5, 5, 6, 7 และ 27 มัธยฐานเท่ากับเท่าใด

เฉลย: ข้อมูลเรียงแล้วอยู่ในลำดับเดิม มีทั้งหมด 5 ค่า ค่าตรงกลางคือ 6 ดังนั้นมัธยฐานเท่ากับ 6

ข้อ 8: หากต้องการทราบขนาดรองเท้าที่ลูกค้าซื้อบ่อยที่สุด ควรใช้ค่าสถิติใด

เฉลย: ใช้ฐานนิยม เพราะต้องการทราบขนาดที่ปรากฏบ่อยที่สุด

ข้อ 9: เพราะเหตุใดมัธยฐานจึงอาจเหมาะกว่าค่าเฉลี่ยสำหรับข้อมูลรายได้ที่มีค่าสูงมากเพียงไม่กี่ค่า

เฉลย: มัธยฐานพิจารณาตำแหน่งตรงกลางของข้อมูลที่เรียงแล้ว จึงได้รับผลกระทบจากค่าสูงหรือต่ำผิดปกติน้อยกว่าค่าเฉลี่ยในหลายสถานการณ์

สรุปบทเรียนค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม และพิสัยเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่ช่วยสรุปข้อมูล แต่ละค่าให้ข้อมูลคนละด้าน การวิเคราะห์ที่ดีจึงต้องเลือกใช้ให้เหมาะสมและไม่สรุปเกินกว่าหลักฐานที่มี

เตรียมพบกับ EP12

EP12 จะต่อยอดเรื่องข้อมูลด้วยความน่าจะเป็นเบื้องต้น เราจะเรียนรู้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ การนับจำนวนกรณี และการคำนวณโอกาสเกิดเหตุการณ์ เพื่อใช้ประเมินความไม่แน่นอนในสถานการณ์ใกล้ตัว

ข้อมูลจะมีความหมายมากขึ้น เมื่อเรารู้จักเลือกวิธีวิเคราะห์และตีความอย่างรอบคอบ

อ่านจนถึงระยะ 500px ก่อนท้ายหน้าและอยู่ในหน้านี้อย่างน้อย 5 นาที เพื่อรับ EXP วันละครั้ง

⏳ กำลังจับเวลาอ่าน...