Article · math-article

คณิตศาสตร์-Math EP.3: เรขาคณิตและตรีโกณมิติ

คณิตศาสตร์พื้นฐาน

บทเรียนคณิตศาสตร์เรื่องเรขาคณิตและตรีโกณมิติ ตั้งแต่รูปทรง มุม พื้นที่ ปริมาตร ทฤษฎีบทพีทาโกรัส วงกลม ไปจนถึงอัตราส่วนตรีโกณมิติ โดยใช้ Math Block และ LaTeX แสดงสูตร การพิสูจน์ และตัวอย่างคำนวณทีละขั้น

1. พื้นฐานเรขาคณิตและการวัดมุม

เรขาคณิตเป็นสาขาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับจุด เส้น มุม รูปร่าง พื้นที่ และปริมาตร ก่อนใช้สูตรควรแยกให้ออกระหว่างความยาว เส้นรอบรูป พื้นที่ และปริมาตร เพราะแต่ละปริมาณมีหน่วยและวิธีคำนวณต่างกัน มุมสามารถวัดได้ทั้งองศาและเรเดียน

ความสัมพันธ์ระหว่างองศากับเรเดียน

180^\circ=\pi\text{ rad}

มุมครึ่งรอบเท่ากับ 180 องศา หรือ pi เรเดียน

สูตรแปลงองศาเป็นเรเดียน

\theta_{\text{rad}}=\theta_{\text{deg}}\times\frac{\pi}{180}

นำจำนวนองศาคูณ pi แล้วหารด้วย 180

ตัวอย่างแปลง 60 องศาเป็นเรเดียน

60^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{3}\text{ rad}

ดังนั้น 60 องศาเท่ากับ pi ส่วน 3 เรเดียน

จำให้แม่นมุมภายในของสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศา ส่วนมุมรอบจุดรวมกันได้ 360 องศา ควรตรวจสอบหน่วยของมุมทุกครั้งก่อนแทนค่าในสูตร

2. ผลรวมมุมและมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมมีจำนวนด้านตั้งแต่สามด้านขึ้นไป ผลรวมมุมภายในขึ้นอยู่กับจำนวนด้าน n โดยสามารถแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมหลายรูปเพื่ออธิบายที่มาของสูตรได้

ผลรวมมุมภายในของรูป n เหลี่ยม

S=(n-2)\times180^\circ

สูตรนี้ใช้กับรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายที่ไม่ตัดผ่านตัวเอง

ตัวอย่างรูปหกเหลี่ยม

\begin{aligned}S&=(6-2)\times180^\circ\\&=4\times180^\circ\\&=720^\circ\end{aligned}

รูปหกเหลี่ยมมีผลรวมมุมภายในเท่ากับ 720 องศา

มุมภายในแต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า

\alpha=\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}

ใช้เมื่อรูปมีด้านเท่ากันและมุมภายในเท่ากันทุกมุม

3. พื้นที่และเส้นรอบรูปของรูปเรขาคณิต

เส้นรอบรูปคือความยาวรวมของขอบทั้งหมด ส่วนพื้นที่บอกขนาดของบริเวณภายในรูป สูตรแต่ละชนิดขึ้นอยู่กับรูปทรงและข้อมูลที่โจทย์ให้มา หน่วยความยาวใช้หน่วยกำลังหนึ่ง เช่น เซนติเมตร ส่วนพื้นที่ใช้หน่วยกำลังสอง เช่น ตารางเซนติเมตร

พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

A=lw

l คือความยาว และ w คือความกว้าง

พื้นที่สามเหลี่ยม

A=\frac{1}{2}bh

b คือความยาวฐาน และ h คือความสูงที่ตั้งฉากกับฐาน

พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

A=\frac{1}{2}(a+b)h

a และ b คือความยาวของด้านคู่ขนาน ส่วน h คือระยะห่างตั้งฉากระหว่างด้านคู่ขนาน

ตัวอย่างพื้นที่สามเหลี่ยม

\begin{aligned}A&=\frac{1}{2}\times10\times6\\&=30\text{ cm}^2\end{aligned}

สามเหลี่ยมที่มีฐาน 10 เซนติเมตรและสูง 6 เซนติเมตร มีพื้นที่ 30 ตารางเซนติเมตร

เส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

P=2(l+w)

นำความยาวบวกความกว้างแล้วคูณสอง

ระวังเรื่องหน่วยหากโจทย์ให้ความยาวเป็นเมตร แต่ความกว้างเป็นเซนติเมตร ต้องแปลงหน่วยให้ตรงกันก่อนคำนวณ ห้ามนำตัวเลขที่มีหน่วยต่างกันมาใช้ในสูตรโดยตรง

4. วงกลม เส้นรอบวง และพื้นที่

วงกลมมีจุดศูนย์กลาง รัศมี และเส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมีคือระยะจากศูนย์กลางถึงเส้นรอบวง ส่วนเส้นผ่านศูนย์กลางผ่านศูนย์กลางและมีความยาวเป็นสองเท่าของรัศมี ค่าคงที่ pi ใช้เชื่อมโยงเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลาง

ความสัมพันธ์ของรัศมีกับเส้นผ่านศูนย์กลาง

d=2r

d คือเส้นผ่านศูนย์กลาง และ r คือรัศมี

สูตรเส้นรอบวง

C=2\pi r=\pi d

คำนวณเส้นรอบวงได้เมื่อทราบรัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลาง

สูตรพื้นที่วงกลม

A=\pi r^2

ยกกำลังสองของรัศมีแล้วคูณด้วย pi

ตัวอย่างวงกลมรัศมี 7 เซนติเมตร

\begin{aligned}C&=2\pi(7)=14\pi\text{ cm}\\A&=\pi(7)^2=49\pi\text{ cm}^2\end{aligned}

หากใช้ pi ประมาณ 22/7 จะได้เส้นรอบวงประมาณ 44 เซนติเมตร และพื้นที่ประมาณ 154 ตารางเซนติเมตร

สื่อการเรียนรู้คณิตศาสตร์และรูปทรงเรขาคณิต — การเรียนรู้คณิตศาสตร์ผ่านรูปทรงและการคำนวณ

5. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมหนึ่งเท่ากับ 90 องศา ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุด ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเชื่อมโยงความยาวด้านทั้งสามและใช้หาด้านที่ไม่ทราบค่าได้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

a^2+b^2=c^2

a และ b คือด้านประกอบมุมฉาก ส่วน c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก

พิสูจน์ตัวอย่างด้วยการแทนค่า

\begin{aligned}a&=3,\quad b=4\\c^2&=3^2+4^2\\&=9+16=25\\c&=\sqrt{25}=5\end{aligned}

สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 และ 4 หน่วย จะมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 5 หน่วย

หาด้านประกอบมุมฉากที่ไม่ทราบค่า

a=\sqrt{c^2-b^2}

เมื่อทราบด้านตรงข้ามมุมฉาก c และอีกด้านหนึ่ง b ให้ลบกำลังสองแล้วหารากที่สอง

ตัวอย่าง: บันไดยาว 10 เมตรพาดกำแพง โดยปลายล่างห่างกำแพง 6 เมตร ปลายบนสูงเท่าใด

ให้ความสูงเป็น h ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส h² + 6² = 10² จึงได้ h² = 100 - 36 = 64 ดังนั้น h = 8 เมตร โดยเลือกค่าบวกเพราะความสูงเป็นระยะทาง

เฉลยโจทย์บันได

\begin{aligned}h^2+6^2&=10^2\\h^2&=100-36=64\\h&=\sqrt{64}=8\text{ m}\end{aligned}

ความสูงของปลายบันไดคือ 8 เมตร

6. รูปทรงสามมิติและปริมาตร

รูปทรงสามมิติมีความกว้าง ความยาว และความสูง ปริมาตรใช้วัดพื้นที่ว่างภายในรูปทรง เช่น ปริมาณน้ำในกล่องหรือความจุของภาชนะ หน่วยปริมาตรจึงเป็นหน่วยกำลังสาม เช่น ลูกบาศก์เมตรหรือลูกบาศก์เซนติเมตร

ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

V=lwh

คูณความยาว ความกว้าง และความสูง

ปริมาตรลูกบาศก์

V=s^3

ทุกด้านยาวเท่ากัน คือ s

ปริมาตรทรงกระบอก

V=\pi r^2h

พื้นที่ฐานวงกลม pi r² คูณด้วยความสูง h

ปริมาตรกรวย

V=\frac{1}{3}\pi r^2h

กรวยมีปริมาตรหนึ่งในสามของทรงกระบอกที่มีฐานและความสูงเท่ากัน

ปริมาตรทรงกลม

V=\frac{4}{3}\pi r^3

สูตรปริมาตรทรงกลมเมื่อทราบรัศมี

ตัวอย่างปริมาตรกล่อง

\begin{aligned}V&=8\times5\times3\\&=120\text{ cm}^3\end{aligned}

กล่องยาว 8 เซนติเมตร กว้าง 5 เซนติเมตร และสูง 3 เซนติเมตร มีปริมาตร 120 ลูกบาศก์เซนติเมตร

พื้นที่กับปริมาตรต่างกันอย่างไรพื้นที่วัดพื้นผิวสองมิติและใช้หน่วยกำลังสอง ส่วนปริมาตรวัดความจุสามมิติและใช้หน่วยกำลังสาม อย่าลืมใส่หน่วยในคำตอบสุดท้าย

7. อัตราส่วนตรีโกณมิติในสามเหลี่ยมมุมฉาก

ตรีโกณมิติศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างมุมกับความยาวด้าน ในสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อเลือกมุมแหลมมุมหนึ่ง จะมีด้านตรงข้ามมุม ด้านประชิดมุม และด้านตรงข้ามมุมฉาก การระบุด้านต้องอ้างอิงมุมที่กำลังพิจารณา

อัตราส่วนไซน์

\sin\theta=\frac{\text{ด้านตรงข้ามมุม }\theta}{\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}}

ใช้เชื่อมโยงมุมกับด้านตรงข้ามและด้านตรงข้ามมุมฉาก

อัตราส่วนโคไซน์

\cos\theta=\frac{\text{ด้านประชิดมุม }\theta}{\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}}

ใช้ด้านประชิดมุมหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก

อัตราส่วนแทนเจนต์

\tan\theta=\frac{\text{ด้านตรงข้ามมุม }\theta}{\text{ด้านประชิดมุม }\theta}

แทนเจนต์คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมต่อด้านประชิดมุม

ความสัมพันธ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

เอกลักษณ์นี้เป็นจริงสำหรับมุมทุกค่าที่นิยามไซน์และโคไซน์ได้

ตัวอย่างใช้ไซน์หาความสูง

\begin{aligned}\sin30^\circ&=\frac{h}{10}\\\frac{1}{2}&=\frac{h}{10}\\h&=5\end{aligned}

หากด้านตรงข้ามมุม 30 องศาคือ h และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 10 หน่วย จะได้ h = 5 หน่วย

8. กฎของไซน์และกฎของโคไซน์

เมื่อสามเหลี่ยมไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก อาจใช้กฎของไซน์หรือกฎของโคไซน์ในการหาด้านและมุม กฎของไซน์เชื่อมโยงด้านกับไซน์ของมุมตรงข้าม ส่วนกฎของโคไซน์เป็นการขยายแนวคิดจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

กฎของไซน์

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}

ด้าน a, b และ c อยู่ตรงข้ามมุม A, B และ C ตามลำดับ

กฎของโคไซน์

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

ใช้หาด้าน c เมื่อทราบด้าน a, b และมุม C ที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง

กรณีมุม C เป็น 90 องศา

\begin{aligned}c^2&=a^2+b^2-2ab\cos90^\circ\\&=a^2+b^2\end{aligned}

เนื่องจาก cos 90 องศาเท่ากับศูนย์ กฎของโคไซน์จึงลดรูปเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส

9. พิกัดและระยะห่างระหว่างจุด

ระบบพิกัดฉากใช้คู่ลำดับ (x, y) แทนตำแหน่งของจุดบนระนาบ การหาระยะระหว่างสองจุดสามารถสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากจากผลต่างของพิกัด แล้วนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใช้

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

สูตรนี้ใช้หาระยะทางตรงระหว่างจุด (x₁, y₁) และ (x₂, y₂)

ตัวอย่างหาระยะระหว่างจุด

\begin{aligned}d&=\sqrt{(5-1)^2+(6-3)^2}\\&=\sqrt{16+9}\\&=\sqrt{25}=5\end{aligned}

ระยะระหว่างจุด (1, 3) และ (5, 6) เท่ากับ 5 หน่วย

จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด

M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)

หาค่าเฉลี่ยของพิกัด x และค่าเฉลี่ยของพิกัด y แยกกัน

10. การประยุกต์ใช้เรขาคณิตในชีวิตประจำวัน

เรขาคณิตช่วยคำนวณจำนวนวัสดุปูพื้น ปริมาณสีที่ใช้ทาผนัง ความจุของภาชนะ และระยะทางที่เข้าถึงได้จากตำแหน่งต่าง ๆ ก่อนคำนวณควรระบุขนาดที่ทราบ เลือกสูตรให้ตรงกับรูปทรง และประเมินว่าคำตอบสมเหตุสมผลหรือไม่

ตัวอย่างคำนวณกระเบื้องปูพื้น

\begin{aligned}A_{\text{ห้อง}}&=6\times4=24\text{ m}^2\\A_{\text{กระเบื้อง}}&=0.5\times0.5=0.25\text{ m}^2\\N&=\frac{24}{0.25}=96\end{aligned}

ห้องขนาด 6 × 4 เมตร ใช้กระเบื้องขนาด 0.5 × 0.5 เมตร อย่างน้อย 96 แผ่นตามการคำนวณพื้นที่จริง โดยงานติดตั้งควรเผื่อการตัดและการแตกหัก

ประมาณจำนวนกระเบื้องเมื่อเผื่อวัสดุ 10 เปอร์เซ็นต์

N_{\text{เผื่อ}}=\left\lceil96\times1.10\right\rceil=106

เครื่องหมายเพดานหมายถึงปัดขึ้นเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นควรเตรียมประมาณ 106 แผ่น ทั้งนี้จำนวนจริงขึ้นกับรูปแบบการปูและการตัด

สิ่งที่ต้องหา	สูตรหลัก	หน่วยคำตอบ
เส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า	P = 2(l + w)	หน่วยความยาว
พื้นที่สามเหลี่ยม	A = 1/2 bh	หน่วยกำลังสอง
พื้นที่วงกลม	A = πr²	หน่วยกำลังสอง
ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก	V = lwh	หน่วยกำลังสาม
ด้านตรงข้ามมุมฉาก	c = √(a² + b²)	หน่วยความยาว
ระยะระหว่างจุด	d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)	หน่วยความยาว

11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

ลองแก้โจทย์ก่อนเปิดเฉลย เขียนสูตรที่เลือกใช้ แทนค่าตัวเลขให้ครบ และใส่หน่วยในคำตอบสุดท้าย เพื่อฝึกทั้งความแม่นยำและการอธิบายเหตุผลทางคณิตศาสตร์

ข้อ 1: สามเหลี่ยมมีฐาน 12 เซนติเมตร สูง 5 เซนติเมตร จงหาพื้นที่

ใช้สูตร A = 1/2 bh แทนค่าได้ A = 1/2 × 12 × 5 = 30 ดังนั้นพื้นที่เท่ากับ 30 ตารางเซนติเมตร

เฉลยข้อ 1

A=\frac{1}{2}\times12\times5=30\text{ cm}^2

พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ 30 ตารางเซนติเมตร

ข้อ 2: วงกลมมีรัศมี 3 เมตร จงหาพื้นที่ในรูปของ pi

ใช้สูตร A = πr² แทน r = 3 จะได้ A = π × 3² = 9π ตารางเมตร

เฉลยข้อ 2

A=\pi(3)^2=9\pi\text{ m}^2

คำตอบแบบ exact form คือ 9π ตารางเมตร หรือประมาณ 28.27 ตารางเมตร

ข้อ 3: สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว 8 และ 15 หน่วย จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก

ใช้ c² = a² + b² ได้ c² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 ดังนั้น c = √289 = 17 หน่วย

เฉลยข้อ 3

\begin{aligned}c^2&=8^2+15^2=289\\c&=\sqrt{289}=17\end{aligned}

ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 17 หน่วย

ข้อ 4: กล่องยาว 10 เซนติเมตร กว้าง 4 เซนติเมตร สูง 3 เซนติเมตร มีปริมาตรเท่าใด

ใช้สูตร V = lwh แทนค่าได้ V = 10 × 4 × 3 = 120 ดังนั้นปริมาตรเท่ากับ 120 ลูกบาศก์เซนติเมตร

เฉลยข้อ 4

V=10\times4\times3=120\text{ cm}^3

ปริมาตรกล่องเท่ากับ 120 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ข้อ 5: มุม 150 องศาเท่ากับกี่เรเดียน

ใช้สูตร θ(rad) = θ(deg) × π/180 แทนค่าได้ 150 × π/180 = 5π/6 เรเดียน

เฉลยข้อ 5

150^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}\text{ rad}

มุม 150 องศาเท่ากับ 5π/6 เรเดียน

ข้อ 6: จุด A(2, 1) และ B(5, 5) อยู่ห่างกันเท่าใด

ใช้สูตรระยะห่าง d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) ได้ d = √((5 − 2)² + (5 − 1)²) = √(9 + 16) = √25 = 5 หน่วย

เฉลยข้อ 6

\begin{aligned}d&=\sqrt{(5-2)^2+(5-1)^2}\\&=\sqrt{9+16}\\&=5\end{aligned}

ระยะห่างระหว่างจุด A และ B เท่ากับ 5 หน่วย

12. สรุปแนวคิดสำคัญ

เรขาคณิตและตรีโกณมิติช่วยเปลี่ยนรูปร่างและความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ให้กลายเป็นสมการที่คำนวณได้ การใช้ Math Block ทำให้สูตรมีโครงสร้างชัดเจน รองรับเศษส่วน รากที่สอง เลขยกกำลัง สัญลักษณ์มุม ระบบสมการ และการจัดแนวสมการหลายบรรทัด เหมาะกับการนำเสนอวิธีทำที่ต้องการความถูกต้องและอ่านง่าย

แผนผังเลือกสูตรพื้นฐาน

\boxed{\begin{gathered}\text{รูปสองมิติ}\rightarrow\text{เส้นรอบรูปและพื้นที่}\\\text{รูปสามมิติ}\rightarrow\text{พื้นที่ผิวและปริมาตร}\\\text{สามเหลี่ยมมุมฉาก}\rightarrow\text{พีทาโกรัสและตรีโกณมิติ}\\\text{จุดบนระนาบ}\rightarrow\text{ระยะห่างและจุดกึ่งกลาง}\end{gathered}}

เลือกสูตรจากสิ่งที่โจทย์ต้องการหา แล้วตรวจสอบว่าข้อมูลที่โจทย์ให้มาครบสำหรับสูตรนั้นหรือไม่

เป้าหมายหลังเรียนเมื่อเรียนจบ คุณควรเลือกสูตรพื้นที่และปริมาตรได้ ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแก้โจทย์ได้ แปลงหน่วยมุมระหว่างองศากับเรเดียนได้ เข้าใจอัตราส่วนตรีโกณมิติ และคำนวณระยะระหว่างจุดบนระนาบได้

สูตรที่ดีไม่ได้เป็นเพียงสิ่งให้จำ แต่เป็นเครื่องมือที่ช่วยอธิบายว่ารูปร่าง ระยะทาง และพื้นที่สัมพันธ์กันอย่างไร

อ่านจนถึงระยะ 500px ก่อนท้ายหน้าและอยู่ในหน้านี้อย่างน้อย 5 นาที เพื่อรับ EXP วันละครั้ง

⏳ กำลังจับเวลาอ่าน...