Article · math-article

การเรียงลำดับและการจัดหมู่

คณิตศาสตร์พื้นฐาน

เรียนรู้ความแตกต่างระหว่างการเรียงลำดับและการจัดหมู่ การใช้แฟกทอเรียล การเรียงสิ่งของที่แตกต่างกัน และการเลือกสมาชิกเป็นกลุ่ม พร้อมตัวอย่างและแบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

EP14: การเรียงลำดับและการจัดหมู่

ใน EP13 เราเรียนรู้หลักการบวกและหลักการคูณเพื่อหาจำนวนวิธีของเหตุการณ์ต่าง ๆ บทนี้จะต่อยอดไปสู่ปัญหาที่ซับซ้อนขึ้น โดยเฉพาะการเลือกสิ่งของหรือคนจากกลุ่มหนึ่ง เราต้องถามก่อนว่า ลำดับของสิ่งที่เลือกมีความสำคัญหรือไม่ เพราะคำตอบจะกำหนดวิธีนับที่เหมาะสม

เป้าหมายการเรียนรู้เมื่อเรียนจบบทนี้ คุณจะเข้าใจแฟกทอเรียล แยกความแตกต่างระหว่างการเรียงลำดับกับการจัดหมู่ คำนวณจำนวนวิธีในกรณีพื้นฐาน และเลือกใช้สูตรได้ตรงกับเงื่อนไขของโจทย์

1. ลำดับสำคัญหรือไม่

ลองพิจารณาการเลือกคน 2 คนจากกลุ่มเพื่อน 3 คน หากเลือกเพื่อสร้างทีมโดยไม่แบ่งตำแหน่ง ทีมที่มีเอและบีย่อมเป็นทีมเดียวกับทีมที่มีบีและเอ แต่ถ้าเลือกคนหนึ่งเป็นประธานและอีกคนเป็นรองประธาน ตำแหน่งจะต่างกันเมื่อสลับคน ดังนั้นปัญหาแรกเป็นการจัดหมู่ ส่วนปัญหาหลังเป็นการเรียงลำดับหรือการเลือกแบบมีตำแหน่ง

สถานการณ์	ลำดับสำคัญหรือไม่	แนวคิด
เลือกนักเรียน 3 คนเป็นทีม	ไม่สำคัญ	การจัดหมู่
เลือกประธาน รองประธาน และเลขานุการ	สำคัญ เพราะตำแหน่งต่างกัน	การเรียงลำดับหรือการเลือกแบบมีตำแหน่ง
จัดหนังสือ 4 เล่มลงบนชั้น	สำคัญ	การเรียงลำดับ
เลือกผลไม้ 2 ชนิดจาก 5 ชนิด	ไม่สำคัญ หากสนใจเพียงชนิดที่เลือก	การจัดหมู่

คำถามช่วยตัดสินใจหากสลับตำแหน่งของสิ่งที่เลือกแล้วนับเป็นผลลัพธ์ใหม่ แสดงว่าลำดับมีความสำคัญ แต่หากยังถือเป็นกลุ่มเดิม ให้พิจารณาการจัดหมู่

2. แฟกทอเรียล

แฟกทอเรียล (Factorial) ใช้สัญลักษณ์เครื่องหมายอัศเจรีย์ ! หลังจำนวนเต็มไม่ลบ สำหรับจำนวนเต็มบวก n ค่า n! คือผลคูณของจำนวนเต็มตั้งแต่ n ลดลงไปจนถึง 1 แฟกทอเรียลช่วยเขียนผลคูณยาว ๆ ให้สั้นลง

นิยามแฟกทอเรียล

n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1

สูตรนี้ใช้กับจำนวนเต็มบวก n และกำหนดให้ 0! = 1

ตัวอย่างแฟกทอเรียล

4!=4\times3\times2\times1=24

แฟกทอเรียลของ 4 มีค่าเท่ากับ 24

ค่า	การคำนวณ	ผลลัพธ์
1!	1	1
2!	2 × 1	2
3!	3 × 2 × 1	6
4!	4 × 3 × 2 × 1	24
5!	5 × 4 × 3 × 2 × 1	120
0!	กำหนดตามนิยาม	1

ข้อควรจำ0! มีค่าเท่ากับ 1 ไม่ใช่ 0 การกำหนดเช่นนี้ทำให้สูตรการนับหลายสูตรทำงานได้อย่างสอดคล้องกัน

3. การเรียงลำดับสิ่งของทั้งหมด

ถ้ามีสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น และต้องการเรียงสิ่งของทั้งหมดในแถวหนึ่ง โดยไม่มีข้อจำกัด จำนวนวิธีเรียงเท่ากับ n! เพราะตำแหน่งแรกมี n ทางเลือก ตำแหน่งถัดไปเหลือ n − 1 ทางเลือก และจำนวนทางเลือกจะลดลงทีละหนึ่ง

จำนวนวิธีเรียงสิ่งของ n ชิ้น

P_n=n!

ใช้เมื่อสิ่งของทั้ง n ชิ้นแตกต่างกันและนำมาเรียงครบทุกชิ้น

ตัวอย่างที่ 1: เรียงหนังสือ 3 เล่ม

มีหนังสือแตกต่างกัน 3 เล่ม ได้แก่ A, B และ C ต้องการนำมาเรียงบนชั้นหนึ่งแถว ตำแหน่งแรกเลือกได้ 3 เล่ม ตำแหน่งที่สองเลือกได้ 2 เล่ม และตำแหน่งสุดท้ายเหลือ 1 เล่ม

จำนวนวิธีเรียงหนังสือ

3!=3\times2\times1=6

หนังสือ 3 เล่มเรียงได้ทั้งหมด 6 วิธี

รายการทั้งหกแบบแสดงให้เห็นว่าเมื่อสลับลำดับ จะเกิดผลลัพธ์ใหม่ เพราะตำแหน่งของหนังสือแต่ละเล่มเปลี่ยนไป

4. การเรียงลำดับเลือกมาเพียงบางส่วน

บางโจทย์ไม่ได้ต้องการนำสิ่งของทั้งหมดมาเรียง เช่น มีผู้สมัคร 5 คนและต้องเลือก 2 คนให้เป็นประธานกับรองประธาน ในกรณีนี้ตำแหน่งแตกต่างกันและใช้คนเดิมซ้ำไม่ได้ จึงนับทางเลือกของตำแหน่งแรกและตำแหน่งที่สองตามลำดับ

สูตรการเรียงลำดับ r สิ่งจาก n สิ่ง

P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}

ใช้เมื่อมีสิ่งของแตกต่างกัน n สิ่ง เลือกมาเรียง r ตำแหน่ง โดยไม่ใช้สิ่งเดิมซ้ำ

ตัวอย่างที่ 2: เลือกประธานและรองประธาน

มีผู้สมัคร 5 คน ต้องเลือกประธานหนึ่งคนและรองประธานหนึ่งคน คนหนึ่งไม่สามารถดำรงทั้งสองตำแหน่งในเวลาเดียวกัน ตำแหน่งประธานเลือกได้ 5 วิธี และเมื่อเลือกแล้ว ตำแหน่งรองประธานเหลือ 4 วิธี

คำนวณจำนวนวิธี

P(5,2)=\frac{5!}{(5-2)!}=5\times4=20

สามารถแต่งตั้งประธานและรองประธานได้ 20 วิธี

5. การจัดหมู่

การจัดหมู่ (Combination) ใช้เมื่อเลือกสิ่งของหรือสมาชิกเป็นกลุ่ม และไม่สนใจลำดับ เช่น เลือกนักเรียน 2 คนเป็นตัวแทนห้องโดยไม่มีการแบ่งตำแหน่ง ทีมที่มี A และ B ถือเป็นทีมเดียวกับทีมที่มี B และ A

สูตรการจัดหมู่

C(n,r)=\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}

ใช้เลือก r สิ่งจากสิ่งที่แตกต่างกัน n สิ่ง โดยไม่สนใจลำดับและไม่เลือกสิ่งเดิมซ้ำ

ตัวอย่างที่ 3: เลือกตัวแทน 2 คน

มีนักเรียน 5 คน ต้องเลือกตัวแทน 2 คนโดยไม่มีตำแหน่งเฉพาะ เนื่องจากลำดับไม่สำคัญ เราจึงใช้สูตรการจัดหมู่แทนการเรียงลำดับ

จำนวนวิธีเลือกตัวแทน

C(5,2)=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10

เลือกตัวแทน 2 คนจากนักเรียน 5 คนได้ 10 กลุ่ม

ถ้าใช้การเรียงลำดับจะได้ 20 วิธี แต่แต่ละกลุ่มถูกนับซ้ำสองครั้ง เช่น AB และ BA เป็นกลุ่มเดียวกัน สูตรการจัดหมู่จึงหารด้วย 2! เพื่อกำจัดการนับซ้ำของลำดับสมาชิก

6. เปรียบเทียบการเรียงลำดับกับการจัดหมู่

ประเด็น	การเรียงลำดับ	การจัดหมู่
ลำดับสำคัญหรือไม่	สำคัญ	ไม่สำคัญ
ตัวอย่าง	เลือกประธานและรองประธาน	เลือกสมาชิกทีม 2 คน
สูตร	P(n,r) = n!/(n-r)!	C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]
กรณี A และ B	AB กับ BA นับเป็นคนละแบบ	AB กับ BA นับเป็นกลุ่มเดียวกัน

เทคนิคจำสูตรหากตำแหน่งหรืออันดับเปลี่ยนแล้วถือเป็นผลลัพธ์ใหม่ ให้พิจารณาการเรียงลำดับ หากเลือกเพียงสมาชิกในกลุ่มโดยไม่กำหนดตำแหน่ง ให้พิจารณาการจัดหมู่

7. ความสัมพันธ์ระหว่างสองสูตร

การเรียงลำดับเลือก r สิ่งจาก n สิ่งสามารถมองเป็นการเลือกกลุ่ม r สิ่งก่อน แล้วเรียงสมาชิกในกลุ่มนั้นได้ r! วิธี ดังนั้นจำนวนวิธีเรียงลำดับจึงเท่ากับจำนวนวิธีจัดหมู่คูณด้วย r!

ความสัมพันธ์ระหว่างการเรียงลำดับและการจัดหมู่

P(n,r)=C(n,r)\times r!

เมื่อเลือกกลุ่มเดียวกันแล้ว สามารถเรียงสมาชิกในกลุ่มได้ r! ลำดับ

ตัวอย่างที่ 4: ตรวจสอบความสัมพันธ์

จากนักเรียน 5 คน เลือก 2 คนเป็นกลุ่มได้ 10 กลุ่ม และแต่ละกลุ่มเรียงลำดับได้ 2! = 2 วิธี จึงได้จำนวนวิธีแบบมีตำแหน่งเท่ากับ 10 × 2 = 20 วิธี ซึ่งตรงกับผลการคำนวณการเรียงลำดับในตัวอย่างก่อนหน้า

ตรวจสอบคำตอบ

P(5,2)=C(5,2)\times2!=10\times2=20

ทั้งสองวิธีให้ผลตรงกันเมื่อใช้เงื่อนไขเดียวกัน

8. ตัวอย่างในชีวิตประจำวัน

สถานการณ์	แนวคิด	เหตุผล
จัดอันดับผู้เข้าแข่งขันอันดับ 1, 2 และ 3	การเรียงลำดับ	อันดับที่แตกต่างกันทำให้ผลลัพธ์ต่างกัน
เลือกเพื่อน 4 คนเข้าทีม	การจัดหมู่	ไม่สนใจว่าใครถูกเลือกก่อน
จัดหนังสือ 6 เล่มที่แตกต่างกันบนชั้น	การเรียงลำดับ	ตำแหน่งของหนังสือแต่ละเล่มมีความสำคัญ
เลือกอาหาร 3 รายการจากเมนูโดยไม่สนใจลำดับ	การจัดหมู่	สนใจเพียงรายการที่เลือก
เลือกหัวหน้ากับเลขานุการจากสมาชิก	การเรียงลำดับแบบมีตำแหน่ง	บทบาทของแต่ละคนแตกต่างกัน

9. วิธีทำโจทย์อย่างเป็นขั้นตอน

อ่านโจทย์และระบุว่ามีสิ่งของหรือสมาชิกทั้งหมดกี่รายการ
ตรวจสอบว่าต้องเลือกทั้งหมดกี่รายการหรือกี่ตำแหน่ง
ถามว่าการสลับลำดับทำให้เกิดผลลัพธ์ใหม่หรือไม่
ตรวจสอบว่ามีการอนุญาตให้เลือกซ้ำหรือมีข้อจำกัดพิเศษหรือไม่
เลือกสูตรที่สอดคล้องกับเงื่อนไข
แทนค่าและคำนวณอย่างระมัดระวัง
ตรวจสอบว่าคำตอบมีขนาดสมเหตุสมผลกับจำนวนทางเลือก

ขอบเขตของสูตรในบทนี้สูตรการเรียงลำดับและการจัดหมู่ที่นำเสนอในบทนี้สมมติว่าสิ่งของแตกต่างกันและไม่เลือกสิ่งเดิมซ้ำ เว้นแต่โจทย์จะระบุเงื่อนไขอื่น กรณีที่เลือกซ้ำได้หรือมีสิ่งของซ้ำกันอาจต้องใช้สูตรเพิ่มเติม

10. สรุปสูตรสำคัญ

แนวคิด	สูตร	เงื่อนไขหลัก
แฟกทอเรียล	n! = n(n−1)...2×1	n เป็นจำนวนเต็มบวก และ 0! = 1
เรียงสิ่งของทั้งหมด	n!	สิ่งของแตกต่างกันและเรียงครบทุกชิ้น
เรียง r สิ่งจาก n สิ่ง	P(n,r) = n!/(n−r)!	ลำดับสำคัญและไม่เลือกซ้ำ
จัดหมู่ r สิ่งจาก n สิ่ง	C(n,r) = n!/[r!(n−r)!]	ลำดับไม่สำคัญและไม่เลือกซ้ำ
ความสัมพันธ์ของสองวิธี	P(n,r) = C(n,r) × r!	เลือกกลุ่มเดียวกันแล้วเรียงสมาชิกในกลุ่ม

11. แบบฝึกหัดท้ายบท

ลองแก้โจทย์ต่อไปนี้ด้วยตนเองก่อนเปิดเฉลย ควรระบุให้ได้ว่าลำดับสำคัญหรือไม่ก่อนเริ่มคำนวณ

ข้อ 1: 5! มีค่าเท่าใด

เฉลย: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

ข้อ 2: หนังสือแตกต่างกัน 4 เล่ม เรียงบนชั้นได้กี่วิธี

เฉลย: เรียงหนังสือทั้งหมด 4 เล่มได้ 4! = 24 วิธี

ข้อ 3: มีผู้สมัคร 6 คน เลือกประธานและรองประธานได้กี่วิธี โดยคนหนึ่งดำรงได้เพียงตำแหน่งเดียว

เฉลย: ลำดับและตำแหน่งสำคัญ จึงมี 6 × 5 = 30 วิธี หรือ P(6,2) = 30

ข้อ 4: เลือกตัวแทน 2 คนจากนักเรียน 6 คนโดยไม่มีตำแหน่ง ได้กี่กลุ่ม

เฉลย: ลำดับไม่สำคัญ จึงใช้ C(6,2) = 6!/(2!4!) = 15 กลุ่ม

ข้อ 5: ค่า 3! เท่ากับเท่าใด

เฉลย: 3! = 3 × 2 × 1 = 6

ข้อ 6: จากคน 7 คน เลือกมาเรียงใน 3 ตำแหน่งโดยไม่ซ้ำได้กี่วิธี

เฉลย: P(7,3) = 7 × 6 × 5 = 210 วิธี

ข้อ 7: จากคน 7 คน เลือกเป็นกลุ่ม 3 คนโดยไม่มีตำแหน่งได้กี่กลุ่ม

เฉลย: C(7,3) = 7!/(3!4!) = (7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1) = 35 กลุ่ม

ข้อ 8: ทำไมการเลือกประธานกับรองประธานจึงใช้การเรียงลำดับ

เฉลย: เพราะตำแหน่งมีหน้าที่แตกต่างกัน การให้ A เป็นประธานและ B เป็นรองประธานไม่เหมือนกับการให้ B เป็นประธานและ A เป็นรองประธาน

ข้อ 9: ทำไมการเลือกสมาชิกทีม 2 คนจึงใช้การจัดหมู่

เฉลย: เพราะสนใจเพียงว่าใครเป็นสมาชิกทีม ไม่ได้แบ่งตำแหน่ง ดังนั้นกลุ่ม AB และ BA จึงเป็นกลุ่มเดียวกัน

ข้อ 10: ถ้า C(5,2) = 10 แต่ละกลุ่มมีสมาชิก 2 คน จะเรียงสมาชิกในกลุ่มหนึ่งได้กี่วิธี และจำนวนวิธีเรียงทั้งหมดเท่าใด

เฉลย: สมาชิก 2 คนเรียงได้ 2! = 2 วิธี จำนวนวิธีเรียงทั้งหมดจึงเป็น 10 × 2 = 20 วิธี

ตรวจสอบความเข้าใจหากคุณแยกได้ว่าลำดับสำคัญหรือไม่ เข้าใจแฟกทอเรียล และใช้สูตรได้ตรงเงื่อนไข คุณก็มีพื้นฐานสำคัญสำหรับโจทย์การนับที่ซับซ้อนขึ้น

เตรียมพบกับ EP15

EP15 จะเรียนรู้เรื่องสมการและอสมการที่ซับซ้อนขึ้น โดยฝึกแปลงข้อความเป็นสัญลักษณ์ ตั้งสมการจากสถานการณ์จริง และตรวจสอบคำตอบให้สอดคล้องกับเงื่อนไขของโจทย์

ก่อนเลือกสูตร ให้เข้าใจสิ่งที่โจทย์กำลังนับ เพราะวิธีคิดที่ถูกต้องเริ่มต้นจากการตีความเงื่อนไขให้ชัดเจน

อ่านจนถึงระยะ 500px ก่อนท้ายหน้าและอยู่ในหน้านี้อย่างน้อย 5 นาที เพื่อรับ EXP วันละครั้ง

⏳ กำลังจับเวลาอ่าน...