Article · math-article
คณิตศาสตร์ EP.2: จำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยม และการคำนวณอย่างเป็นระบบ
คณิตศาสตร์พื้นฐาน
บทเรียนต่อเนื่องจาก EP.1 เน้นการเปรียบเทียบจำนวนเต็ม การคำนวณจำนวนลบ เศษส่วน ทศนิยม อัตราส่วน เลขยกกำลัง ค่าสัมบูรณ์ และการแก้โจทย์ในชีวิตจริง พร้อมสูตร LaTeX ผ่าน math blocks ตัวอย่างแสดงขั้นตอน และแบบฝึกหัดพร้อมเฉลย
EP.2 — จากจำนวนที่คุ้นเคย สู่การคำนวณที่แม่นยำ
ใน EP.1 เราได้สำรวจภาพรวมของคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ค่าประจำหลักไปจนถึงสมการและสถิติ บทนี้จะลงลึกเรื่องระบบจำนวนและการคำนวณ โดยเน้นการเข้าใจเหตุผลเบื้องหลังเครื่องหมายและสูตร แทนการจดจำเพียงวิธีทำ เมื่อเข้าใจหลักการแล้ว คุณจะสามารถประยุกต์ใช้กับโจทย์ที่มีตัวเลขหลายรูปแบบได้มั่นใจขึ้น
สิ่งที่จะเรียนรู้แยกแยะจำนวนเต็มบวกและลบ เปรียบเทียบจำนวน ใช้ค่าสัมบูรณ์ คำนวณเศษส่วนและทศนิยม เข้าใจเลขยกกำลัง ตรวจสอบคำตอบ และแก้ปัญหาที่เชื่อมโยงกับสถานการณ์จริง
1. เส้นจำนวนและการเปรียบเทียบจำนวนเต็ม
จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนเต็มลบ ศูนย์ และจำนวนเต็มบวก บนเส้นจำนวน ค่าจะเพิ่มขึ้นเมื่อเคลื่อนไปทางขวา และลดลงเมื่อเคลื่อนไปทางซ้าย ดังนั้น -2 มากกว่า -5 เพราะ -2 อยู่ทางขวาของ -5 แม้ตัวเลข 5 จะมีขนาดมากกว่า 2 ก็ตาม
ความสัมพันธ์บนเส้นจำนวน
-5<-2<0<3<7สัญลักษณ์ < หมายถึงน้อยกว่า ส่วน > หมายถึงมากกว่า
การบวกจำนวนเต็มบวกและลบ
เมื่อบวกจำนวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน ให้บวกค่าตัวเลขแล้วคงเครื่องหมายเดิม เช่น -4 + (-3) = -7 แต่เมื่อจำนวนมีเครื่องหมายต่างกัน ให้หาผลต่างของค่าสัมบูรณ์ แล้วใช้เครื่องหมายของจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า เช่น -9 + 5 = -4
การบวกจำนวนเต็มต่างเครื่องหมาย
(-9)+5=-(9-5)=-4ค่าสัมบูรณ์ของ -9 มากกว่า 5 ผลลัพธ์จึงมีเครื่องหมายลบ
การลบจำนวนเต็ม
การลบจำนวนหนึ่งสามารถเปลี่ยนเป็นการบวกจำนวนตรงข้ามได้ วิธีนี้ช่วยลดความสับสนเมื่อโจทย์มีเครื่องหมายลบต่อเนื่องกัน เช่น 6 − (−4) จะเปลี่ยนเป็น 6 + 4
กฎการเปลี่ยนการลบเป็นการบวก
a-b=a+(-b)การลบ b เท่ากับการบวกจำนวนตรงข้ามของ b
ตัวอย่างการลบจำนวนลบ
6-(-4)=6+4=10ลบจำนวนลบจึงเท่ากับบวกจำนวนบวกที่มีขนาดเท่ากัน
2. ค่าสัมบูรณ์และระยะห่างจากศูนย์
ค่าสัมบูรณ์บอกระยะห่างของจำนวนจากศูนย์บนเส้นจำนวน จึงไม่มีค่าเป็นลบ ตัวอย่างเช่น -8 และ 8 มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 8 เพราะทั้งสองจำนวนอยู่ห่างจากศูนย์ 8 หน่วย
นิยามค่าสัมบูรณ์
|x|=\begin{cases}x,&x\geq0\\-x,&x<0\end{cases}ถ้า x ไม่ติดลบ ค่าสัมบูรณ์เท่ากับ x แต่ถ้า x เป็นลบ ค่าสัมบูรณ์เท่ากับจำนวนตรงข้ามของ x
ตัวอย่างค่าสัมบูรณ์
|-12|=12,\qquad |7|=7,\qquad |0|=0ค่าสัมบูรณ์ไม่ติดลบเสมอ
อย่าสับสนระหว่างจำนวนกับค่าสัมบูรณ์จำนวน -12 มีค่าเป็นลบ แต่ |-12| มีค่าเท่ากับ 12 เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ไม่ได้หมายถึงการลบจำนวนออกจากกัน
3. การคูณและการหารจำนวนเต็ม
สำหรับการคูณและการหารจำนวนเต็ม ให้พิจารณาเครื่องหมายแยกจากค่าตัวเลข หากเครื่องหมายของจำนวนทั้งสองเหมือนกัน ผลลัพธ์เป็นบวก หากเครื่องหมายต่างกัน ผลลัพธ์เป็นลบ ทั้งนี้ การหารด้วยศูนย์ไม่สามารถทำได้
| เครื่องหมาย | ตัวอย่าง | ผลลัพธ์ |
|---|---|---|
| บวก × บวก | 4 × 3 | 12 |
| ลบ × ลบ | (-4) × (-3) | 12 |
| บวก × ลบ | 4 × (-3) | -12 |
| ลบ × บวก | (-4) × 3 | -12 |
กฎเครื่องหมายของการคูณ
(+)(+)=+\quad;\quad(-)(-)=+\quad;\quad(+)(-)=-\quad;\quad(-)(+)=-กฎเดียวกันนี้ใช้กับการหาร เมื่อการหารนิยามได้
4. เศษส่วนอย่างเข้าใจ ไม่ใช่แค่จำสูตร
เศษส่วนแทนการแบ่งปริมาณออกเป็นส่วนเท่า ๆ กัน ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ เศษส่วนสามารถย่อให้อยู่ในรูปอย่างต่ำได้โดยหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด การย่อเศษส่วนช่วยให้คำตอบอ่านง่ายและลดความผิดพลาดในขั้นตอนถัดไป
การย่อเศษส่วน
\frac{18}{24}=\frac{18\div6}{24\div6}=\frac{3}{4}หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 6 ซึ่งเป็นตัวประกอบร่วม
การคูณและหารเศษส่วน
สูตรการคูณเศษส่วน
\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}คูณตัวเศษเข้าด้วยกันและคูณตัวส่วนเข้าด้วยกัน โดย b และ d ต้องไม่เป็นศูนย์
ตัวอย่างการคูณเศษส่วน
\frac{2}{3}\times\frac{9}{10}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}คูณเศษกับเศษและส่วนกับส่วน แล้วลดรูปคำตอบ
สูตรการหารเศษส่วน
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}เปลี่ยนการหารเป็นการคูณด้วยเศษส่วนกลับ โดย b, c และ d ต้องไม่เป็นศูนย์
ตัวอย่าง: มีพิซซ่าเหลือ 3/4 ถาด และต้องการแบ่งให้คนละ 1/8 ถาด จะได้กี่ส่วน? คำนวณ 3/4 ÷ 1/8 = 3/4 × 8/1 = 6 ดังนั้นแบ่งได้ 6 ส่วนขนาด 1/8 ถาด
5. ทศนิยมและการประมาณค่า
ตำแหน่งหลังจุดทศนิยมแทนส่วนสิบ ส่วนร้อย ส่วนพัน และต่อไป การบวกหรือลบทศนิยมควรจัดจุดทศนิยมให้ตรงกัน ส่วนการประมาณค่าช่วยให้คาดการณ์คำตอบได้อย่างรวดเร็ว และช่วยตรวจสอบว่าผลลัพธ์จากการคำนวณละเอียดสมเหตุสมผลหรือไม่
ค่าประจำหลักของทศนิยม
3.482=3+\frac{4}{10}+\frac{8}{100}+\frac{2}{1000}เลข 4 อยู่ในหลักส่วนสิบ เลข 8 อยู่ในหลักส่วนร้อย และเลข 2 อยู่ในหลักส่วนพัน
การคูณทศนิยม
1.2\times0.3=\frac{12}{10}\times\frac{3}{10}=\frac{36}{100}=0.36แปลงเป็นเศษส่วนเพื่อมองเห็นที่มาของตำแหน่งทศนิยมในผลลัพธ์
การปัดเศษ
หากต้องการปัดเป็นจำนวนทศนิยมสองตำแหน่ง ให้ดูตัวเลขในตำแหน่งที่สาม ถ้าเป็น 5 ถึง 9 ให้เพิ่มตัวเลขในตำแหน่งที่สองขึ้นหนึ่ง แต่ถ้าเป็น 0 ถึง 4 ให้คงตัวเลขในตำแหน่งที่สองไว้
ตัวอย่างการปัดทศนิยมสองตำแหน่ง
7.386\approx7.39ตัวเลขหลักทศนิยมตำแหน่งที่สามคือ 6 จึงปัด 8 ในตำแหน่งที่สองขึ้นเป็น 9
6. อัตราส่วน ร้อยละ และการเปลี่ยนแปลง
อัตราส่วนใช้เปรียบเทียบปริมาณ ส่วนร้อยละใช้แสดงปริมาณต่อหนึ่งร้อย ในสถานการณ์จริงควรแยกให้ออกว่าโจทย์ถามจำนวนเงินที่ลด ราคาใหม่ หรืออัตราการเปลี่ยนแปลง เพราะแต่ละคำถามต้องใช้ขั้นตอนต่างกัน
สูตรคำนวณร้อยละ
\text{ร้อยละ} = \frac{\text{ส่วนที่สนใจ}}{\text{จำนวนทั้งหมด}}\times100\%ใช้เมื่อทราบจำนวนทั้งหมดและส่วนที่ต้องการเปรียบเทียบ
สูตรหาร้อยละของการเปลี่ยนแปลง
\text{ร้อยละการเปลี่ยนแปลง}=\frac{\text{ค่าใหม่}-\text{ค่าเดิม}}{\text{ค่าเดิม}}\times100\%ค่าบวกหมายถึงเพิ่มขึ้น และค่าลบหมายถึงลดลง เมื่อค่าเดิมไม่เป็นศูนย์
ตัวอย่าง: ค่าเดินทางเพิ่มจาก 200 บาทเป็น 230 บาท ส่วนต่างคือ 30 บาท ร้อยละการเพิ่มขึ้นเท่ากับ 30 ÷ 200 × 100% = 15% ต้องใช้ค่าเดิมเป็นตัวหาร ไม่ใช่ค่าใหม่
7. เลขยกกำลังและสัญกรณ์วิทยาศาสตร์
เลขยกกำลังช่วยเขียนการคูณซ้ำให้สั้นลง สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ใช้เขียนจำนวนที่ใหญ่มากหรือเล็กมากในรูป a × 10 ยกกำลัง n โดยค่าของ a มักอยู่ตั้งแต่ 1 แต่ไม่ถึง 10 สำหรับรูปมาตรฐาน
กฎการหารเลขยกกำลังฐานเดียวกัน
\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\quad a\ne0เมื่อฐานไม่เป็นศูนย์และเลขชี้กำลังอยู่ในเงื่อนไขที่นิยามได้ สามารถลบเลขชี้กำลังได้
เลขยกกำลังศูนย์
a^0=1,\quad a\ne0จำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ยกกำลังศูนย์มีค่าเท่ากับ 1
สัญกรณ์วิทยาศาสตร์
4500000=4.5\times10^6เลื่อนจุดทศนิยมไปทางซ้าย 6 ตำแหน่ง จึงใช้เลขชี้กำลัง 6
8. การประมาณค่าและตรวจสอบคำตอบ
ก่อนคำนวณละเอียด ลองประมาณค่าของจำนวนเพื่อคาดการณ์คำตอบ เช่น 198 × 51 ใกล้เคียงกับ 200 × 50 = 10,000 ดังนั้นถ้าคำนวณแล้วได้ 1,009 หรือ 100,000 ควรย้อนตรวจขั้นตอนอีกครั้ง การประมาณค่าไม่ได้แทนคำตอบที่แน่นอน แต่เป็นเครื่องมือช่วยตรวจความสมเหตุสมผล
ตัวอย่างการประมาณผลคูณ
198\times51\approx200\times50=10000แทนจำนวนด้วยค่าที่คำนวณง่ายและอยู่ใกล้เคียงกับจำนวนเดิม
ขั้นตอนตรวจสอบ 3 ข้อหนึ่ง ตรวจเครื่องหมายบวกและลบ สอง ตรวจตำแหน่งจุดทศนิยมและหน่วย สาม เปรียบเทียบคำตอบกับค่าประมาณก่อนสรุปผล
9. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย
ข้อ 1: จงเรียงจำนวน -7, 2, -3, 0 และ 5 จากน้อยไปมาก
เฉลยข้อ 1
-7 < -3 < 0 < 2 < 5 ดังนั้นลำดับจากน้อยไปมากคือ -7, -3, 0, 2, 5
ข้อ 2: จงหาค่าของ (-8) + 13 − 6
เฉลยข้อ 2
เริ่มจาก (-8) + 13 = 5 จากนั้น 5 − 6 = -1 คำตอบคือ -1
ข้อ 3: จงหาค่า |-15| − |4|
เฉลยข้อ 3
|-15| = 15 และ |4| = 4 ดังนั้น 15 − 4 = 11
ข้อ 4: จงคำนวณ 5/6 − 1/4 และตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
เฉลยข้อ 4
ตัวส่วนร่วมคือ 12 ดังนั้น 5/6 = 10/12 และ 1/4 = 3/12 จึงได้ 10/12 − 3/12 = 7/12
ข้อ 5: จงคำนวณ 2/5 ÷ 4/15
เฉลยข้อ 5
เปลี่ยนการหารเป็นการคูณด้วยเศษส่วนกลับ ได้ 2/5 × 15/4 = 30/20 = 3/2 หรือ 1.5
ข้อ 6: จงคำนวณ 3.75 + 0.8
เฉลยข้อ 6
จัดจุดทศนิยมให้ตรงกัน: 3.75 + 0.80 = 4.55
ข้อ 7: สินค้าราคาเดิม 640 บาท ลดราคา 25% ราคาหลังลดเป็นเท่าไร?
เฉลยข้อ 7
ส่วนลด = 640 × 25/100 = 160 บาท ราคาหลังลด = 640 − 160 = 480 บาท
ข้อ 8: จงหาค่าของ 2^3 × 2^4
เฉลยข้อ 8
ใช้กฎการคูณเลขยกกำลังฐานเดียวกัน: 2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7 = 128
ข้อ 9: จงเขียน 0.00072 ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์
เฉลยข้อ 9
เลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวา 4 ตำแหน่งเพื่อให้ได้ 7.2 ดังนั้นต้องใช้เลขชี้กำลัง -4: 0.00072 = 7.2 × 10^-4
ข้อ 10: อุณหภูมิช่วงเช้าอยู่ที่ -2 องศาเซลเซียส และช่วงบ่ายเพิ่มขึ้น 9 องศาเซลเซียส อุณหภูมิช่วงบ่ายเป็นเท่าไร?
เฉลยข้อ 10
อุณหภูมิใหม่ = -2 + 9 = 7 องศาเซลเซียส
10. สรุปบทเรียนและเตรียมต่อยอด
หัวใจของบทนี้คือการมองจำนวนเป็นระบบเดียวกัน จำนวนเต็มช่วยอธิบายค่าที่อยู่เหนือหรือต่ำกว่าศูนย์ เศษส่วนและทศนิยมแทนส่วนของปริมาณ ร้อยละช่วยเปรียบเทียบสัดส่วน และเลขยกกำลังทำให้การเขียนจำนวนซ้ำกระชับขึ้น ทุกหัวข้อล้วนเชื่อมโยงกันผ่านการใช้เหตุผล การจัดลำดับการคำนวณ และการตรวจสอบคำตอบ
หลักการเชื่อมโยงรูปแบบจำนวน
\frac{3}{4}=0.75=75\%เศษส่วน ทศนิยม และร้อยละสามารถแทนปริมาณเดียวกันได้ในรูปแบบต่างกัน
เมื่อเข้าใจเหตุผลของกฎ เราจะไม่เพียงคำนวณได้ แต่ยังเลือกวิธีที่เหมาะสมและอธิบายคำตอบของตนเองได้ด้วย
อ่าน EP.3: เศษส่วน อัตราส่วน และร้อยละในชีวิตจริง
อ่านจนถึงระยะ 500px ก่อนท้ายหน้าและอยู่ในหน้านี้อย่างน้อย 5 นาที เพื่อรับ EXP วันละครั้ง
⏳ กำลังจับเวลาอ่าน...