Article · math-article
ความน่าจะเป็นเบื้องต้น
คณิตศาสตร์พื้นฐาน
EP12 เรียนรู้ความน่าจะเป็นตั้งแต่การทดลองสุ่ม ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ปริภูมิตัวอย่าง เหตุการณ์ การนับกรณี และการคำนวณโอกาสเกิดเหตุการณ์ พร้อมตัวอย่าง สูตรคณิตศาสตร์ และแบบฝึกหัดพร้อมเฉลย
EP12: ความน่าจะเป็นเบื้องต้น
ใน EP11 เราเรียนรู้การใช้สถิติเพื่อสรุปและวิเคราะห์ข้อมูล บทนี้จะพาไปเรียนรู้เรื่องความน่าจะเป็น ซึ่งช่วยให้เราประเมินโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น เช่น โอกาสออกหัวเมื่อโยนเหรียญ โอกาสได้แต้ม 6 จากการทอดลูกเต๋า หรือโอกาสหยิบลูกบอลสีที่ต้องการจากถุง ความน่าจะเป็นไม่ได้บอกอนาคตอย่างแน่นอน แต่ช่วยให้เราเข้าใจโอกาสของผลลัพธ์ต่าง ๆ อย่างเป็นระบบ
เป้าหมายการเรียนรู้เมื่อเรียนจบบทนี้ คุณจะอธิบายการทดลองสุ่มและผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ เขียนปริภูมิตัวอย่าง ระบุเหตุการณ์ คำนวณความน่าจะเป็นในกรณีที่ผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากัน และแปลความหมายของค่าความน่าจะเป็นในสถานการณ์จริงได้
1. การทดลองสุ่มคืออะไร
การทดลองสุ่ม (Random Experiment) คือการทดลองหรือกระบวนการที่เราทราบผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นได้ แต่ไม่สามารถระบุผลลัพธ์เฉพาะที่จะเกิดขึ้นในแต่ละครั้งได้อย่างแน่นอน เช่น การโยนเหรียญ การทอดลูกเต๋า หรือการหยิบลูกบอลจากถุงโดยไม่มอง
| การทดลอง | ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ | สิ่งที่ไม่ทราบล่วงหน้า |
|---|---|---|
| โยนเหรียญหนึ่งครั้ง | หัว หรือ ก้อย | เหรียญจะออกด้านใด |
| ทอดลูกเต๋ามาตรฐานหนึ่งลูก | 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 | จะได้แต้มใด |
| หยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากถุง | สีของลูกบอลที่มีอยู่ในถุง | จะหยิบได้สีใด |
| สุ่มเลือกวันหนึ่งจากเจ็ดวัน | วันจันทร์ถึงวันอาทิตย์ | จะได้วันใด |
การทดลองสุ่มไม่ได้หมายความว่าผลลัพธ์ทุกอย่างจะมีโอกาสเท่ากันเสมอไป ตัวอย่างเช่น ถุงมีลูกบอลสีแดง 8 ลูกและสีฟ้า 2 ลูก การหยิบลูกบอลโดยไม่มองมีโอกาสได้สีแดงมากกว่าสีฟ้า เพราะจำนวนลูกบอลแต่ละสีไม่เท่ากัน
2. ปริภูมิตัวอย่าง
ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space) คือเซตที่รวบรวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม โดยทั่วไปใช้สัญลักษณ์ S แทนปริภูมิตัวอย่าง การเขียนผลลัพธ์ทั้งหมดให้ครบช่วยป้องกันการนับกรณีตกหล่น
ปริภูมิตัวอย่างของการโยนเหรียญ
S=\{H,T\}H หมายถึงหัว และ T หมายถึงก้อย สำหรับการโยนเหรียญหนึ่งครั้ง
ตัวอย่างที่ 1: ปริภูมิตัวอย่างของลูกเต๋า
เมื่อลูกเต๋ามาตรฐานมี 6 หน้า และแต่ละหน้าแสดงแต้มตั้งแต่ 1 ถึง 6 ปริภูมิตัวอย่างของการทอดลูกเต๋าหนึ่งครั้งคือเซตของตัวเลขทั้งหกค่า
ผลลัพธ์ทั้งหมดของลูกเต๋า
S=\{1,2,3,4,5,6\}ปริภูมิตัวอย่างมีผลลัพธ์ทั้งหมด 6 ผลลัพธ์
ระวังการนับซ้ำเมื่อเขียนปริภูมิตัวอย่าง ต้องแยกผลลัพธ์ตามสิ่งที่โจทย์สนใจ หากโยนเหรียญสองครั้ง ผลลัพธ์หัวแล้วก้อยกับก้อยแล้วหัวเป็นคนละผลลัพธ์ เพราะลำดับการเกิดต่างกัน
3. เหตุการณ์
เหตุการณ์ (Event) คือกลุ่มของผลลัพธ์หนึ่งผลหรือหลายผลลัพธ์ที่เราสนใจ โดยเป็นส่วนหนึ่งของปริภูมิตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น การทอดลูกเต๋าแล้วได้แต้มคู่ หรือการโยนเหรียญแล้วได้หัว
ตัวอย่างเหตุการณ์ของลูกเต๋า
S=\{1,2,3,4,5,6\}กำหนดเหตุการณ์ A เป็นการได้แต้มคู่
เซตของแต้มคู่
A=\{2,4,6\}เหตุการณ์ A มีผลลัพธ์ที่สนใจทั้งหมด 3 ผลลัพธ์
| เหตุการณ์ | ผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไข | จำนวนผลลัพธ์ |
|---|---|---|
| ได้แต้มคู่ | 2, 4, 6 | 3 |
| ได้แต้มคี่ | 1, 3, 5 | 3 |
| ได้แต้มมากกว่า 4 | 5, 6 | 2 |
| ได้แต้มเท่ากับ 1 | 1 | 1 |
| ได้แต้มมากกว่า 6 | ไม่มีผลลัพธ์ | 0 |
เหตุการณ์ที่ไม่มีผลลัพธ์ใดเข้าเงื่อนไขเรียกว่าเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ ส่วนเหตุการณ์ที่รวมผลลัพธ์ทุกค่าในปริภูมิตัวอย่างเรียกว่าเหตุการณ์ที่แน่นอน
4. สูตรความน่าจะเป็น
เมื่อผลลัพธ์ทุกผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยนำจำนวนผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไขหารด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด ความน่าจะเป็นมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือเขียนเป็นเปอร์เซ็นต์ได้ตั้งแต่ 0% ถึง 100%
สูตรความน่าจะเป็น
P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}n(A) คือจำนวนผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไขของเหตุการณ์ A และ n(S) คือจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดในปริภูมิตัวอย่าง เมื่อทุกผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากัน
| ค่าความน่าจะเป็น | ความหมาย | ตัวอย่าง |
|---|---|---|
| 0 | เหตุการณ์เป็นไปไม่ได้ | ทอดลูกเต๋ามาตรฐานแล้วได้แต้ม 8 |
| 0.25 หรือ 25% | มีโอกาสเกิด 1 ใน 4 ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด | สุ่มเลือกหนึ่งผลลัพธ์จาก 4 ผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากัน |
| 0.5 หรือ 50% | มีโอกาสครึ่งหนึ่ง | ได้หัวจากการโยนเหรียญสมดุลหนึ่งครั้ง |
| 1 | เหตุการณ์แน่นอน | ทอดลูกเต๋ามาตรฐานแล้วได้แต้มตั้งแต่ 1 ถึง 6 |
หลักสำคัญสูตร P(A) = n(A)/n(S) ใช้ได้เมื่อผลลัพธ์พื้นฐานทั้งหมดมีโอกาสเกิดเท่ากัน หากผลลัพธ์มีโอกาสไม่เท่ากัน จะต้องใช้ข้อมูลความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละแบบแทนการนับจำนวนอย่างเดียว
5. ตัวอย่างการคำนวณความน่าจะเป็น
ตัวอย่างที่ 2: โอกาสได้แต้ม 6
ทอดลูกเต๋ามาตรฐานที่ยุติธรรมหนึ่งลูก ต้องการหาโอกาสที่จะได้แต้ม 6 มีผลลัพธ์ทั้งหมด 6 แบบ และมีผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไขเพียง 1 แบบ คือแต้ม 6
คำนวณโอกาสได้แต้ม 6
P(6)=\frac{1}{6}\approx0.1667คิดเป็นประมาณ 16.67% ต่อการทอดหนึ่งครั้ง
ผลลัพธ์นี้ไม่ได้หมายความว่าทอด 6 ครั้งแล้วจะต้องได้แต้ม 6 หนึ่งครั้งพอดี แต่หมายถึงการทอดแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นที่จะได้แต้ม 6 เท่ากับ 1 ใน 6 ภายใต้เงื่อนไขที่ลูกเต๋ายุติธรรม
ตัวอย่างที่ 3: โอกาสได้แต้มคู่
จากการทอดลูกเต๋ามาตรฐานหนึ่งลูก แต้มคู่คือ 2, 4 และ 6 จึงมีผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไข 3 แบบ จากผลลัพธ์ทั้งหมด 6 แบบ
ความน่าจะเป็นของแต้มคู่
P(\text{แต้มคู่})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\%โอกาสได้แต้มคู่เท่ากับครึ่งหนึ่ง
ตัวอย่างที่ 4: หยิบลูกบอลจากถุง
ในถุงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีฟ้า 2 ลูก และสีเขียว 5 ลูก ลูกบอลทุกลูกมีขนาดเท่ากันและหยิบโดยไม่มอง หากต้องการหาโอกาสหยิบได้ลูกบอลสีฟ้า ให้นับลูกบอลทั้งหมดและนับจำนวนลูกบอลสีฟ้า
จำนวนลูกบอลทั้งหมด
n(S)=3+2+5=10มีลูกบอลทั้งหมด 10 ลูก
โอกาสหยิบได้สีฟ้า
P(\text{สีฟ้า})=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}=20\%มีลูกบอลสีฟ้า 2 ลูก จากทั้งหมด 10 ลูก
6. การนับผลลัพธ์อย่างเป็นระบบ
เมื่อการทดลองมีหลายขั้นตอน การเขียนผลลัพธ์ทั้งหมดด้วยรายการยาว ๆ อาจทำให้ตกหล่น เราสามารถใช้ตารางหรือแผนภาพต้นไม้ช่วยจัดระเบียบผลลัพธ์และตรวจสอบว่ามีกรณีใดบ้าง
ตัวอย่างที่ 5: โยนเหรียญสองครั้ง
โยนเหรียญสมดุลสองครั้ง โดยสนใจผลลัพธ์ตามลำดับการโยน ครั้งแรกมีผลลัพธ์ H หรือ T และครั้งที่สองมีผลลัพธ์ H หรือ T เช่นกัน เมื่อนำผลลัพธ์มาจับคู่ จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมด 4 แบบ
| ครั้งที่ 1 | ครั้งที่ 2 | ผลลัพธ์ |
|---|---|---|
| H | H | HH |
| H | T | HT |
| T | H | TH |
| T | T | TT |
ปริภูมิตัวอย่างของการโยนสองครั้ง
S=\{HH,HT,TH,TT\}มีผลลัพธ์ทั้งหมด 4 แบบ และแต่ละแบบมีโอกาสเท่ากันเมื่อเหรียญสมดุล
ถ้าเหตุการณ์ A คือการได้หัวเพียงหนึ่งครั้ง ผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไขคือ HT และ TH มี 2 แบบจากทั้งหมด 4 แบบ ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เท่ากับ 2/4 หรือ 1/2
โอกาสได้หัวเพียงหนึ่งครั้ง
P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=50\%ทั้ง HT และ TH เข้าเงื่อนไข แม้ลำดับการออกหัวและก้อยจะแตกต่างกัน
7. เหตุการณ์ตรงข้าม
เหตุการณ์ตรงข้ามของ A คือเหตุการณ์ที่ A ไม่เกิดขึ้น เขียนแทนด้วย Aᶜ หากทราบความน่าจะเป็นของ A แล้ว เราสามารถหาความน่าจะเป็นที่ A ไม่เกิดขึ้นได้โดยนำ 1 ลบด้วยความน่าจะเป็นของ A
สูตรเหตุการณ์ตรงข้าม
P(A^c)=1-P(A)ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ที่ A ไม่เกิด รวมกันเท่ากับ 1
ตัวอย่างที่ 6: โอกาสไม่ออกแต้ม 6
เมื่อลูกเต๋ามาตรฐานยุติธรรมมีโอกาสได้แต้ม 6 เท่ากับ 1/6 ความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้แต้ม 6 จึงเท่ากับ 1 ลบ 1/6
คำนวณเหตุการณ์ตรงข้าม
P(\text{ไม่ใช่ 6})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}แต้มที่ไม่ใช่ 6 ได้แก่ 1, 2, 3, 4 และ 5
เทคนิคช่วยคิดหากการนับผลลัพธ์ที่ต้องการทำได้ยาก แต่การนับผลลัพธ์ที่ไม่ต้องการทำได้ง่าย อาจใช้สูตรเหตุการณ์ตรงข้ามเพื่อช่วยลดขั้นตอนการคำนวณ
8. ความน่าจะเป็นกับเปอร์เซ็นต์
ความน่าจะเป็นสามารถเขียนเป็นเศษส่วน ทศนิยม หรือเปอร์เซ็นต์ได้ การแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ทำได้โดยนำค่าความน่าจะเป็นคูณด้วย 100% ส่วนการแปลงเปอร์เซ็นต์เป็นทศนิยมให้หารด้วย 100
การแปลงความน่าจะเป็นเป็นเปอร์เซ็นต์
P(A)=\frac{1}{4}=0.25=25\%รูปแบบทั้งสามแสดงค่าความน่าจะเป็นเดียวกัน
| เศษส่วน | ทศนิยม | เปอร์เซ็นต์ |
|---|---|---|
| 1/2 | 0.5 | 50% |
| 1/4 | 0.25 | 25% |
| 3/4 | 0.75 | 75% |
| 1/5 | 0.2 | 20% |
| 1 | 1.0 | 100% |
9. ความน่าจะเป็นในชีวิตประจำวัน
ความน่าจะเป็นช่วยให้เราคิดเกี่ยวกับความไม่แน่นอน เช่น การประเมินโอกาสฝนตก การวิเคราะห์ผลการจับรางวัล หรือการวางแผนกิจกรรม อย่างไรก็ตาม ต้องแยกค่าความน่าจะเป็นที่คำนวณจากแบบจำลองออกจากการคาดการณ์ที่อาศัยข้อมูลจริง เพราะความน่าเชื่อถือขึ้นอยู่กับข้อมูลและสมมติฐานที่ใช้
| สถานการณ์ | ข้อมูลที่ต้องทราบ | ข้อควรระวัง |
|---|---|---|
| สุ่มหยิบลูกบอล | จำนวนลูกบอลแต่ละสี | ต้องทราบว่าหยิบอย่างยุติธรรมและแต่ละลูกมีโอกาสถูกหยิบเท่ากัน |
| ทอดลูกเต๋า | จำนวนหน้าและลักษณะลูกเต๋า | สูตรนับกรณีเท่ากันใช้กับลูกเต๋าที่ยุติธรรม |
| พยากรณ์ฝน | ข้อมูลอากาศและแบบจำลองพยากรณ์ | ไม่ใช่การนับผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากันแบบลูกเต๋า |
| สุ่มจับรางวัล | จำนวนสิทธิ์และเงื่อนไขการจับ | ต้องตรวจสอบว่าทุกสิทธิ์มีโอกาสเท่ากันหรือไม่ |
อย่าเข้าใจความน่าจะเป็นผิดหากเหรียญสมดุลมีโอกาสออกหัว 50% ต่อครั้ง การออกก้อยหลายครั้งติดต่อกันไม่ได้ทำให้การโยนครั้งถัดไปต้องออกหัว ในการโยนที่เป็นอิสระต่อกัน ความน่าจะเป็นของครั้งถัดไปยังคงเท่าเดิม
10. สรุปสูตรสำคัญ
| แนวคิด | สูตรหรือสัญลักษณ์ | ความหมาย |
|---|---|---|
| ปริภูมิตัวอย่าง | S | ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ |
| เหตุการณ์ | A ⊆ S | ผลลัพธ์ที่ตรงตามเงื่อนไข |
| ความน่าจะเป็นกรณีโอกาสเท่ากัน | P(A) = n(A)/n(S) | จำนวนกรณีที่ต้องการหารด้วยจำนวนกรณีทั้งหมด |
| ช่วงค่าความน่าจะเป็น | 0 ≤ P(A) ≤ 1 | ค่าความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 |
| เหตุการณ์ตรงข้าม | P(Aᶜ) = 1 − P(A) | โอกาสที่เหตุการณ์ A ไม่เกิด |
| เปอร์เซ็นต์ | P(A) × 100% | แสดงความน่าจะเป็นในรูปเปอร์เซ็นต์ |
11. แบบฝึกหัดท้ายบท
ลองทำโจทย์ต่อไปนี้ด้วยตนเองก่อนเปิดเฉลยทุกข้อ ให้เขียนปริภูมิตัวอย่างหรือแสดงวิธีคำนวณตามความเหมาะสม
ข้อ 1: การโยนเหรียญหนึ่งครั้งมีปริภูมิตัวอย่างอะไรบ้าง
เฉลย: S = {H, T} โดย H คือหัว และ T คือก้อย มีผลลัพธ์ทั้งหมด 2 แบบ
ข้อ 2: ทอดลูกเต๋ามาตรฐานหนึ่งลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้ม 3 เท่ากับเท่าใด
เฉลย: มีผลลัพธ์ที่ต้องการ 1 แบบ จากผลลัพธ์ทั้งหมด 6 แบบ ดังนั้น P(3) = 1/6
ข้อ 3: ทอดลูกเต๋ามาตรฐานหนึ่งลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มมากกว่า 4 เท่ากับเท่าใด
เฉลย: ผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไขคือ 5 และ 6 มี 2 แบบจากทั้งหมด 6 แบบ ดังนั้น P = 2/6 = 1/3 หรือประมาณ 33.33%
ข้อ 4: ในถุงมีลูกบอลสีแดง 4 ลูกและสีเขียว 6 ลูก รวม 10 ลูก โอกาสหยิบได้สีแดงเท่ากับเท่าใด
เฉลย: P(สีแดง) = 4/10 = 2/5 = 40% เมื่อหยิบโดยไม่มองและลูกบอลทุกลูกมีโอกาสถูกหยิบเท่ากัน
ข้อ 5: จากข้อ 4 โอกาสหยิบไม่ได้สีแดงเท่ากับเท่าใด
เฉลย: ใช้เหตุการณ์ตรงข้าม P(ไม่แดง) = 1 − 2/5 = 3/5 = 60% ซึ่งตรงกับโอกาสหยิบได้ลูกบอลสีเขียว
ข้อ 6: โยนเหรียญสมดุลสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวทั้งสองครั้งเท่ากับเท่าใด
เฉลย: ปริภูมิตัวอย่างคือ {HH, HT, TH, TT} มี 4 แบบ เหตุการณ์ได้หัวทั้งสองครั้งมีเพียง HH ดังนั้น P = 1/4 = 25%
ข้อ 7: ความน่าจะเป็น 0.75 เขียนเป็นเปอร์เซ็นต์ได้เท่าใด
เฉลย: 0.75 × 100% = 75%
ข้อ 8: ทอดลูกเต๋ามาตรฐาน ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มตั้งแต่ 1 ถึง 6 เท่ากับเท่าใด
เฉลย: ทุกผลลัพธ์ในปริภูมิตัวอย่างเข้าเงื่อนไข จึงมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 6/6 = 1 หรือ 100%
ข้อ 9: ถ้าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดเท่ากับ 0.2 โอกาสที่ A จะไม่เกิดเท่ากับเท่าใด
เฉลย: P(Aᶜ) = 1 − 0.2 = 0.8 หรือ 80%
ข้อ 10: ในถุงมีลูกบอลสีแดง 8 ลูกและสีฟ้า 2 ลูก หากหยิบหนึ่งลูกโดยไม่มอง สีใดมีโอกาสถูกหยิบมากกว่า และเพราะเหตุใด
เฉลย: สีแดงมีโอกาสถูกหยิบมากกว่า เพราะมีลูกบอลสีแดง 8 จากทั้งหมด 10 ลูก จึงมีความน่าจะเป็น 8/10 = 80% ส่วนสีฟ้ามีความน่าจะเป็น 2/10 = 20%
ตรวจสอบความเข้าใจหากคุณสามารถเขียนผลลัพธ์ทั้งหมดได้ครบ ระบุเหตุการณ์ นับจำนวนกรณีที่เข้าเงื่อนไข และใช้สูตรความน่าจะเป็นได้ถูกต้อง คุณก็มีพื้นฐานสำคัญสำหรับการศึกษาความน่าจะเป็นที่ซับซ้อนขึ้น
เตรียมพบกับ EP13
EP13 จะต่อยอดจากความน่าจะเป็นเบื้องต้นไปสู่การนับจำนวนกรณีและหลักการนับเบื้องต้น เรียนรู้หลักการบวก หลักการคูณ และวิธีจัดลำดับขั้นตอนการนับ เพื่อแก้โจทย์ที่มีผลลัพธ์หลายรูปแบบอย่างเป็นระบบ
เราไม่จำเป็นต้องรู้แน่นอนว่าอะไรจะเกิดขึ้น แต่เราสามารถเรียนรู้ที่จะประเมินโอกาสอย่างมีเหตุผล
Reach within 500px of the page end and stay for at least 5 minutes to earn EXP once per day.
⏳ Reading timer is running...