Article · math-article

ความน่าจะเป็นเบื้องต้น

คณิตศาสตร์พื้นฐาน

EP12 เรียนรู้ความน่าจะเป็นตั้งแต่การทดลองสุ่ม ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ปริภูมิตัวอย่าง เหตุการณ์ การนับกรณี และการคำนวณโอกาสเกิดเหตุการณ์ พร้อมตัวอย่าง สูตรคณิตศาสตร์ และแบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

EP12: ความน่าจะเป็นเบื้องต้น

ใน EP11 เราเรียนรู้การใช้สถิติเพื่อสรุปและวิเคราะห์ข้อมูล บทนี้จะพาไปเรียนรู้เรื่องความน่าจะเป็น ซึ่งช่วยให้เราประเมินโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น เช่น โอกาสออกหัวเมื่อโยนเหรียญ โอกาสได้แต้ม 6 จากการทอดลูกเต๋า หรือโอกาสหยิบลูกบอลสีที่ต้องการจากถุง ความน่าจะเป็นไม่ได้บอกอนาคตอย่างแน่นอน แต่ช่วยให้เราเข้าใจโอกาสของผลลัพธ์ต่าง ๆ อย่างเป็นระบบ

เป้าหมายการเรียนรู้เมื่อเรียนจบบทนี้ คุณจะอธิบายการทดลองสุ่มและผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ เขียนปริภูมิตัวอย่าง ระบุเหตุการณ์ คำนวณความน่าจะเป็นในกรณีที่ผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากัน และแปลความหมายของค่าความน่าจะเป็นในสถานการณ์จริงได้

1. การทดลองสุ่มคืออะไร

การทดลองสุ่ม (Random Experiment) คือการทดลองหรือกระบวนการที่เราทราบผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นได้ แต่ไม่สามารถระบุผลลัพธ์เฉพาะที่จะเกิดขึ้นในแต่ละครั้งได้อย่างแน่นอน เช่น การโยนเหรียญ การทอดลูกเต๋า หรือการหยิบลูกบอลจากถุงโดยไม่มอง

การทดลอง	ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้	สิ่งที่ไม่ทราบล่วงหน้า
โยนเหรียญหนึ่งครั้ง	หัว หรือ ก้อย	เหรียญจะออกด้านใด
ทอดลูกเต๋ามาตรฐานหนึ่งลูก	1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6	จะได้แต้มใด
หยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากถุง	สีของลูกบอลที่มีอยู่ในถุง	จะหยิบได้สีใด
สุ่มเลือกวันหนึ่งจากเจ็ดวัน	วันจันทร์ถึงวันอาทิตย์	จะได้วันใด

การทดลองสุ่มไม่ได้หมายความว่าผลลัพธ์ทุกอย่างจะมีโอกาสเท่ากันเสมอไป ตัวอย่างเช่น ถุงมีลูกบอลสีแดง 8 ลูกและสีฟ้า 2 ลูก การหยิบลูกบอลโดยไม่มองมีโอกาสได้สีแดงมากกว่าสีฟ้า เพราะจำนวนลูกบอลแต่ละสีไม่เท่ากัน

2. ปริภูมิตัวอย่าง

ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space) คือเซตที่รวบรวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม โดยทั่วไปใช้สัญลักษณ์ S แทนปริภูมิตัวอย่าง การเขียนผลลัพธ์ทั้งหมดให้ครบช่วยป้องกันการนับกรณีตกหล่น

ปริภูมิตัวอย่างของการโยนเหรียญ

S=\{H,T\}

H หมายถึงหัว และ T หมายถึงก้อย สำหรับการโยนเหรียญหนึ่งครั้ง

ตัวอย่างที่ 1: ปริภูมิตัวอย่างของลูกเต๋า

เมื่อลูกเต๋ามาตรฐานมี 6 หน้า และแต่ละหน้าแสดงแต้มตั้งแต่ 1 ถึง 6 ปริภูมิตัวอย่างของการทอดลูกเต๋าหนึ่งครั้งคือเซตของตัวเลขทั้งหกค่า

ผลลัพธ์ทั้งหมดของลูกเต๋า

S=\{1,2,3,4,5,6\}

ปริภูมิตัวอย่างมีผลลัพธ์ทั้งหมด 6 ผลลัพธ์

ระวังการนับซ้ำเมื่อเขียนปริภูมิตัวอย่าง ต้องแยกผลลัพธ์ตามสิ่งที่โจทย์สนใจ หากโยนเหรียญสองครั้ง ผลลัพธ์หัวแล้วก้อยกับก้อยแล้วหัวเป็นคนละผลลัพธ์ เพราะลำดับการเกิดต่างกัน

3. เหตุการณ์

เหตุการณ์ (Event) คือกลุ่มของผลลัพธ์หนึ่งผลหรือหลายผลลัพธ์ที่เราสนใจ โดยเป็นส่วนหนึ่งของปริภูมิตัวอย่าง ตัวอย่างเช่น การทอดลูกเต๋าแล้วได้แต้มคู่ หรือการโยนเหรียญแล้วได้หัว

ตัวอย่างเหตุการณ์ของลูกเต๋า

S=\{1,2,3,4,5,6\}

กำหนดเหตุการณ์ A เป็นการได้แต้มคู่

เซตของแต้มคู่

A=\{2,4,6\}

เหตุการณ์ A มีผลลัพธ์ที่สนใจทั้งหมด 3 ผลลัพธ์

เหตุการณ์	ผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไข	จำนวนผลลัพธ์
ได้แต้มคู่	2, 4, 6	3
ได้แต้มคี่	1, 3, 5	3
ได้แต้มมากกว่า 4	5, 6	2
ได้แต้มเท่ากับ 1	1	1
ได้แต้มมากกว่า 6	ไม่มีผลลัพธ์	0

เหตุการณ์ที่ไม่มีผลลัพธ์ใดเข้าเงื่อนไขเรียกว่าเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ ส่วนเหตุการณ์ที่รวมผลลัพธ์ทุกค่าในปริภูมิตัวอย่างเรียกว่าเหตุการณ์ที่แน่นอน

4. สูตรความน่าจะเป็น

เมื่อผลลัพธ์ทุกผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยนำจำนวนผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไขหารด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด ความน่าจะเป็นมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือเขียนเป็นเปอร์เซ็นต์ได้ตั้งแต่ 0% ถึง 100%

สูตรความน่าจะเป็น

P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}

n(A) คือจำนวนผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไขของเหตุการณ์ A และ n(S) คือจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดในปริภูมิตัวอย่าง เมื่อทุกผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากัน

ค่าความน่าจะเป็น	ความหมาย	ตัวอย่าง
0	เหตุการณ์เป็นไปไม่ได้	ทอดลูกเต๋ามาตรฐานแล้วได้แต้ม 8
0.25 หรือ 25%	มีโอกาสเกิด 1 ใน 4 ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด	สุ่มเลือกหนึ่งผลลัพธ์จาก 4 ผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากัน
0.5 หรือ 50%	มีโอกาสครึ่งหนึ่ง	ได้หัวจากการโยนเหรียญสมดุลหนึ่งครั้ง
1	เหตุการณ์แน่นอน	ทอดลูกเต๋ามาตรฐานแล้วได้แต้มตั้งแต่ 1 ถึง 6

หลักสำคัญสูตร P(A) = n(A)/n(S) ใช้ได้เมื่อผลลัพธ์พื้นฐานทั้งหมดมีโอกาสเกิดเท่ากัน หากผลลัพธ์มีโอกาสไม่เท่ากัน จะต้องใช้ข้อมูลความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละแบบแทนการนับจำนวนอย่างเดียว

5. ตัวอย่างการคำนวณความน่าจะเป็น

ตัวอย่างที่ 2: โอกาสได้แต้ม 6

ทอดลูกเต๋ามาตรฐานที่ยุติธรรมหนึ่งลูก ต้องการหาโอกาสที่จะได้แต้ม 6 มีผลลัพธ์ทั้งหมด 6 แบบ และมีผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไขเพียง 1 แบบ คือแต้ม 6

คำนวณโอกาสได้แต้ม 6

P(6)=\frac{1}{6}\approx0.1667

คิดเป็นประมาณ 16.67% ต่อการทอดหนึ่งครั้ง

ผลลัพธ์นี้ไม่ได้หมายความว่าทอด 6 ครั้งแล้วจะต้องได้แต้ม 6 หนึ่งครั้งพอดี แต่หมายถึงการทอดแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นที่จะได้แต้ม 6 เท่ากับ 1 ใน 6 ภายใต้เงื่อนไขที่ลูกเต๋ายุติธรรม

ตัวอย่างที่ 3: โอกาสได้แต้มคู่

จากการทอดลูกเต๋ามาตรฐานหนึ่งลูก แต้มคู่คือ 2, 4 และ 6 จึงมีผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไข 3 แบบ จากผลลัพธ์ทั้งหมด 6 แบบ

ความน่าจะเป็นของแต้มคู่

P(\text{แต้มคู่})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\%

โอกาสได้แต้มคู่เท่ากับครึ่งหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 4: หยิบลูกบอลจากถุง

ในถุงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีฟ้า 2 ลูก และสีเขียว 5 ลูก ลูกบอลทุกลูกมีขนาดเท่ากันและหยิบโดยไม่มอง หากต้องการหาโอกาสหยิบได้ลูกบอลสีฟ้า ให้นับลูกบอลทั้งหมดและนับจำนวนลูกบอลสีฟ้า

จำนวนลูกบอลทั้งหมด

n(S)=3+2+5=10

มีลูกบอลทั้งหมด 10 ลูก

โอกาสหยิบได้สีฟ้า

P(\text{สีฟ้า})=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}=20\%

มีลูกบอลสีฟ้า 2 ลูก จากทั้งหมด 10 ลูก

6. การนับผลลัพธ์อย่างเป็นระบบ

เมื่อการทดลองมีหลายขั้นตอน การเขียนผลลัพธ์ทั้งหมดด้วยรายการยาว ๆ อาจทำให้ตกหล่น เราสามารถใช้ตารางหรือแผนภาพต้นไม้ช่วยจัดระเบียบผลลัพธ์และตรวจสอบว่ามีกรณีใดบ้าง

ตัวอย่างที่ 5: โยนเหรียญสองครั้ง

โยนเหรียญสมดุลสองครั้ง โดยสนใจผลลัพธ์ตามลำดับการโยน ครั้งแรกมีผลลัพธ์ H หรือ T และครั้งที่สองมีผลลัพธ์ H หรือ T เช่นกัน เมื่อนำผลลัพธ์มาจับคู่ จะได้ผลลัพธ์ทั้งหมด 4 แบบ

ครั้งที่ 1	ครั้งที่ 2	ผลลัพธ์
H	H	HH
H	T	HT
T	H	TH
T	T	TT

ปริภูมิตัวอย่างของการโยนสองครั้ง

S=\{HH,HT,TH,TT\}

มีผลลัพธ์ทั้งหมด 4 แบบ และแต่ละแบบมีโอกาสเท่ากันเมื่อเหรียญสมดุล

ถ้าเหตุการณ์ A คือการได้หัวเพียงหนึ่งครั้ง ผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไขคือ HT และ TH มี 2 แบบจากทั้งหมด 4 แบบ ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เท่ากับ 2/4 หรือ 1/2

โอกาสได้หัวเพียงหนึ่งครั้ง

P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=50\%

ทั้ง HT และ TH เข้าเงื่อนไข แม้ลำดับการออกหัวและก้อยจะแตกต่างกัน

7. เหตุการณ์ตรงข้าม

เหตุการณ์ตรงข้ามของ A คือเหตุการณ์ที่ A ไม่เกิดขึ้น เขียนแทนด้วย Aᶜ หากทราบความน่าจะเป็นของ A แล้ว เราสามารถหาความน่าจะเป็นที่ A ไม่เกิดขึ้นได้โดยนำ 1 ลบด้วยความน่าจะเป็นของ A

สูตรเหตุการณ์ตรงข้าม

P(A^c)=1-P(A)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ที่ A ไม่เกิด รวมกันเท่ากับ 1

ตัวอย่างที่ 6: โอกาสไม่ออกแต้ม 6

เมื่อลูกเต๋ามาตรฐานยุติธรรมมีโอกาสได้แต้ม 6 เท่ากับ 1/6 ความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้แต้ม 6 จึงเท่ากับ 1 ลบ 1/6

คำนวณเหตุการณ์ตรงข้าม

P(\text{ไม่ใช่ 6})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}

แต้มที่ไม่ใช่ 6 ได้แก่ 1, 2, 3, 4 และ 5

เทคนิคช่วยคิดหากการนับผลลัพธ์ที่ต้องการทำได้ยาก แต่การนับผลลัพธ์ที่ไม่ต้องการทำได้ง่าย อาจใช้สูตรเหตุการณ์ตรงข้ามเพื่อช่วยลดขั้นตอนการคำนวณ

8. ความน่าจะเป็นกับเปอร์เซ็นต์

ความน่าจะเป็นสามารถเขียนเป็นเศษส่วน ทศนิยม หรือเปอร์เซ็นต์ได้ การแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ทำได้โดยนำค่าความน่าจะเป็นคูณด้วย 100% ส่วนการแปลงเปอร์เซ็นต์เป็นทศนิยมให้หารด้วย 100

การแปลงความน่าจะเป็นเป็นเปอร์เซ็นต์

P(A)=\frac{1}{4}=0.25=25\%

รูปแบบทั้งสามแสดงค่าความน่าจะเป็นเดียวกัน

เศษส่วน	ทศนิยม	เปอร์เซ็นต์
1/2	0.5	50%
1/4	0.25	25%
3/4	0.75	75%
1/5	0.2	20%
1	1.0	100%

9. ความน่าจะเป็นในชีวิตประจำวัน

ความน่าจะเป็นช่วยให้เราคิดเกี่ยวกับความไม่แน่นอน เช่น การประเมินโอกาสฝนตก การวิเคราะห์ผลการจับรางวัล หรือการวางแผนกิจกรรม อย่างไรก็ตาม ต้องแยกค่าความน่าจะเป็นที่คำนวณจากแบบจำลองออกจากการคาดการณ์ที่อาศัยข้อมูลจริง เพราะความน่าเชื่อถือขึ้นอยู่กับข้อมูลและสมมติฐานที่ใช้

สถานการณ์	ข้อมูลที่ต้องทราบ	ข้อควรระวัง
สุ่มหยิบลูกบอล	จำนวนลูกบอลแต่ละสี	ต้องทราบว่าหยิบอย่างยุติธรรมและแต่ละลูกมีโอกาสถูกหยิบเท่ากัน
ทอดลูกเต๋า	จำนวนหน้าและลักษณะลูกเต๋า	สูตรนับกรณีเท่ากันใช้กับลูกเต๋าที่ยุติธรรม
พยากรณ์ฝน	ข้อมูลอากาศและแบบจำลองพยากรณ์	ไม่ใช่การนับผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากันแบบลูกเต๋า
สุ่มจับรางวัล	จำนวนสิทธิ์และเงื่อนไขการจับ	ต้องตรวจสอบว่าทุกสิทธิ์มีโอกาสเท่ากันหรือไม่

อย่าเข้าใจความน่าจะเป็นผิดหากเหรียญสมดุลมีโอกาสออกหัว 50% ต่อครั้ง การออกก้อยหลายครั้งติดต่อกันไม่ได้ทำให้การโยนครั้งถัดไปต้องออกหัว ในการโยนที่เป็นอิสระต่อกัน ความน่าจะเป็นของครั้งถัดไปยังคงเท่าเดิม

10. สรุปสูตรสำคัญ

แนวคิด	สูตรหรือสัญลักษณ์	ความหมาย
ปริภูมิตัวอย่าง	S	ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้
เหตุการณ์	A ⊆ S	ผลลัพธ์ที่ตรงตามเงื่อนไข
ความน่าจะเป็นกรณีโอกาสเท่ากัน	P(A) = n(A)/n(S)	จำนวนกรณีที่ต้องการหารด้วยจำนวนกรณีทั้งหมด
ช่วงค่าความน่าจะเป็น	0 ≤ P(A) ≤ 1	ค่าความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1
เหตุการณ์ตรงข้าม	P(Aᶜ) = 1 − P(A)	โอกาสที่เหตุการณ์ A ไม่เกิด
เปอร์เซ็นต์	P(A) × 100%	แสดงความน่าจะเป็นในรูปเปอร์เซ็นต์

11. แบบฝึกหัดท้ายบท

ลองทำโจทย์ต่อไปนี้ด้วยตนเองก่อนเปิดเฉลยทุกข้อ ให้เขียนปริภูมิตัวอย่างหรือแสดงวิธีคำนวณตามความเหมาะสม

ข้อ 1: การโยนเหรียญหนึ่งครั้งมีปริภูมิตัวอย่างอะไรบ้าง

เฉลย: S = {H, T} โดย H คือหัว และ T คือก้อย มีผลลัพธ์ทั้งหมด 2 แบบ

ข้อ 2: ทอดลูกเต๋ามาตรฐานหนึ่งลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้ม 3 เท่ากับเท่าใด

เฉลย: มีผลลัพธ์ที่ต้องการ 1 แบบ จากผลลัพธ์ทั้งหมด 6 แบบ ดังนั้น P(3) = 1/6

ข้อ 3: ทอดลูกเต๋ามาตรฐานหนึ่งลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มมากกว่า 4 เท่ากับเท่าใด

เฉลย: ผลลัพธ์ที่เข้าเงื่อนไขคือ 5 และ 6 มี 2 แบบจากทั้งหมด 6 แบบ ดังนั้น P = 2/6 = 1/3 หรือประมาณ 33.33%

ข้อ 4: ในถุงมีลูกบอลสีแดง 4 ลูกและสีเขียว 6 ลูก รวม 10 ลูก โอกาสหยิบได้สีแดงเท่ากับเท่าใด

เฉลย: P(สีแดง) = 4/10 = 2/5 = 40% เมื่อหยิบโดยไม่มองและลูกบอลทุกลูกมีโอกาสถูกหยิบเท่ากัน

ข้อ 5: จากข้อ 4 โอกาสหยิบไม่ได้สีแดงเท่ากับเท่าใด

เฉลย: ใช้เหตุการณ์ตรงข้าม P(ไม่แดง) = 1 − 2/5 = 3/5 = 60% ซึ่งตรงกับโอกาสหยิบได้ลูกบอลสีเขียว

ข้อ 6: โยนเหรียญสมดุลสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวทั้งสองครั้งเท่ากับเท่าใด

เฉลย: ปริภูมิตัวอย่างคือ {HH, HT, TH, TT} มี 4 แบบ เหตุการณ์ได้หัวทั้งสองครั้งมีเพียง HH ดังนั้น P = 1/4 = 25%

ข้อ 7: ความน่าจะเป็น 0.75 เขียนเป็นเปอร์เซ็นต์ได้เท่าใด

เฉลย: 0.75 × 100% = 75%

ข้อ 8: ทอดลูกเต๋ามาตรฐาน ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มตั้งแต่ 1 ถึง 6 เท่ากับเท่าใด

เฉลย: ทุกผลลัพธ์ในปริภูมิตัวอย่างเข้าเงื่อนไข จึงมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 6/6 = 1 หรือ 100%

ข้อ 9: ถ้าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดเท่ากับ 0.2 โอกาสที่ A จะไม่เกิดเท่ากับเท่าใด

เฉลย: P(Aᶜ) = 1 − 0.2 = 0.8 หรือ 80%

ข้อ 10: ในถุงมีลูกบอลสีแดง 8 ลูกและสีฟ้า 2 ลูก หากหยิบหนึ่งลูกโดยไม่มอง สีใดมีโอกาสถูกหยิบมากกว่า และเพราะเหตุใด

เฉลย: สีแดงมีโอกาสถูกหยิบมากกว่า เพราะมีลูกบอลสีแดง 8 จากทั้งหมด 10 ลูก จึงมีความน่าจะเป็น 8/10 = 80% ส่วนสีฟ้ามีความน่าจะเป็น 2/10 = 20%

ตรวจสอบความเข้าใจหากคุณสามารถเขียนผลลัพธ์ทั้งหมดได้ครบ ระบุเหตุการณ์ นับจำนวนกรณีที่เข้าเงื่อนไข และใช้สูตรความน่าจะเป็นได้ถูกต้อง คุณก็มีพื้นฐานสำคัญสำหรับการศึกษาความน่าจะเป็นที่ซับซ้อนขึ้น

เตรียมพบกับ EP13

EP13 จะต่อยอดจากความน่าจะเป็นเบื้องต้นไปสู่การนับจำนวนกรณีและหลักการนับเบื้องต้น เรียนรู้หลักการบวก หลักการคูณ และวิธีจัดลำดับขั้นตอนการนับ เพื่อแก้โจทย์ที่มีผลลัพธ์หลายรูปแบบอย่างเป็นระบบ

เราไม่จำเป็นต้องรู้แน่นอนว่าอะไรจะเกิดขึ้น แต่เราสามารถเรียนรู้ที่จะประเมินโอกาสอย่างมีเหตุผล

อ่านจนถึงระยะ 500px ก่อนท้ายหน้าและอยู่ในหน้านี้อย่างน้อย 5 นาที เพื่อรับ EXP วันละครั้ง

⏳ กำลังจับเวลาอ่าน...