Article · math-article

คณิตศาสตร์-Math EP.5: สถิติและความน่าจะเป็น

คณิตศาสตร์พื้นฐาน

เรียนรู้สถิติและความน่าจะเป็นอย่างเป็นขั้นตอน ตั้งแต่การจัดข้อมูล ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม พิสัย ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข และการนับจำนวนกรณี พร้อมบล็อก Math ที่ใช้ LaTeX และ KaTeX อย่างหลากหลายสำหรับการคำนวณและอธิบายสูตรอย่างละเอียด

1. สถิติและความน่าจะเป็นสำคัญอย่างไร

สถิติ (Statistics) คือกระบวนการรวบรวม จัดระเบียบ วิเคราะห์ และแปลความหมายของข้อมูล ส่วนความน่าจะเป็น (Probability) ใช้อธิบายโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น ทั้งสองเรื่องช่วยให้เราตัดสินใจจากข้อมูลแทนการคาดเดา เช่น การวิเคราะห์คะแนนสอบ สำรวจความนิยมของสินค้า ประเมินความเสี่ยง และวางแผนค่าใช้จ่าย

แนวคิดสำคัญสถิติช่วยสรุปสิ่งที่สังเกตได้จากข้อมูล ส่วนความน่าจะเป็นช่วยวิเคราะห์โอกาสของเหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้น การใช้ทั้งสองอย่างร่วมกันทำให้การตัดสินใจมีเหตุผลมากขึ้น

2. ประเภทข้อมูลและการจัดเรียงข้อมูล

ก่อนคำนวณ ต้องเข้าใจว่าข้อมูลมีลักษณะอย่างไร ข้อมูลเชิงปริมาณเป็นข้อมูลที่แสดงเป็นตัวเลขและนำไปคำนวณได้ เช่น อายุ คะแนน และรายได้ ส่วนข้อมูลเชิงคุณภาพเป็นข้อมูลที่แบ่งประเภท เช่น สีที่ชอบ ประเภทสินค้า หรือวิธีเดินทาง การจัดเรียงข้อมูลเชิงตัวเลขจากน้อยไปมากช่วยให้หาค่ากลางและค่าการกระจายได้สะดวก

ข้อมูล	ประเภท	ตัวอย่าง
คะแนนสอบ	เชิงปริมาณ	65, 72, 88
จำนวนหนังสือ	เชิงปริมาณแบบไม่ต่อเนื่อง	1, 2, 3 เล่ม
ส่วนสูง	เชิงปริมาณแบบต่อเนื่อง	152.5 เซนติเมตร
สีที่ชอบ	เชิงคุณภาพ	แดง น้ำเงิน เขียว
วิธีเดินทาง	เชิงคุณภาพ	รถยนต์ รถประจำทาง เดิน

3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean) คำนวณโดยนำข้อมูลทุกค่ามาบวกกันแล้วหารด้วยจำนวนข้อมูล เหมาะสำหรับสรุปค่ากลางของชุดข้อมูล แต่ควรระวังว่าค่าที่สูงหรือต่ำผิดปกติอาจทำให้ค่าเฉลี่ยเปลี่ยนแปลงได้มาก

สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต

\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

x_i คือข้อมูลลำดับที่ i และ n คือจำนวนข้อมูลทั้งหมด สัญลักษณ์ซิกมา \sum หมายถึงการนำค่าตามลำดับมาบวกกัน

ตัวอย่าง: คะแนน 4 ครั้งคือ 6, 8, 9 และ 13 คะแนน ผลรวมเท่ากับ 36 และมีข้อมูล 4 ค่า ดังนั้นค่าเฉลี่ยเท่ากับ 36 ÷ 4 = 9 คะแนน

คำนวณค่าเฉลี่ยจากตัวอย่าง

\begin{aligned}\bar{x}&=\frac{6+8+9+13}{4}\\&=\frac{36}{4}\\&=9\end{aligned}

ค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 9

ค่าเฉลี่ยเมื่อข้อมูลมีความถี่

บางครั้งข้อมูลจะถูกสรุปเป็นตารางความถี่ โดย x_i แทนค่าข้อมูล และ f_i แทนจำนวนครั้งที่ข้อมูลค่านั้นปรากฏ วิธีนี้ช่วยคำนวณค่าเฉลี่ยได้โดยไม่ต้องเขียนข้อมูลที่ซ้ำกันทั้งหมดออกมา

ค่าเฉลี่ยจากตารางความถี่

\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{k}f_ix_i}{\sum_{i=1}^{k}f_i}

คูณแต่ละค่าด้วยความถี่ของค่านั้น แล้วหารด้วยผลรวมความถี่ทั้งหมด

คะแนน x_i	ความถี่ f_i	ผลคูณ f_i x_i
5	2	10
7	3	21
9	1	9
รวม	6	40

ตัวอย่างค่าเฉลี่ยจากความถี่

\bar{x}=\frac{2(5)+3(7)+1(9)}{2+3+1}=\frac{40}{6}=\frac{20}{3}\approx6.67

ค่าเฉลี่ยประมาณ 6.67 คะแนน โดยเก็บค่าเศษส่วน 20/3 ไว้ได้หากต้องการความแม่นยำมากขึ้น

4. มัธยฐานและฐานนิยม

มัธยฐาน (Median) คือค่าที่อยู่ตรงกลางหลังเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ส่วนฐานนิยม (Mode) คือค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุด ทั้งสองค่าเป็นตัวแทนค่ากลางอีกแบบหนึ่งที่มีประโยชน์ โดยเฉพาะเมื่อข้อมูลมีค่าผิดปกติหรือมีค่าบางค่าปรากฏซ้ำบ่อย

มัธยฐานเมื่อจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคี่

\operatorname{Median}=x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}

เมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ตำแหน่งตรงกลางคือ (n + 1)/2 สำหรับจำนวนข้อมูล n ที่เป็นจำนวนคี่

มัธยฐานเมื่อจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคู่

\operatorname{Median}=\frac{x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}}{2}

เมื่อจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคู่ ให้หาค่าเฉลี่ยของข้อมูลสองตำแหน่งตรงกลางหลังเรียงข้อมูลแล้ว

ตัวอย่างข้อมูล 3, 5, 7, 9, 11 มีมัธยฐานเท่ากับ 7 ส่วนข้อมูล 2, 4, 6, 8 มีมัธยฐานเท่ากับ (4 + 6) ÷ 2 = 5 หากข้อมูลเป็น 2, 3, 3, 3, 5, 8 ฐานนิยมคือ 3 เพราะปรากฏมากที่สุด

เลือกค่ากลางให้เหมาะกับข้อมูลใช้ค่าเฉลี่ยเมื่ออยากคำนึงถึงข้อมูลทุกค่า ใช้มัธยฐานเมื่ออยากได้ค่ากลางที่ไม่ไวต่อค่าผิดปกติมากนัก และใช้ฐานนิยมเมื่ออยากทราบค่าหรือประเภทที่พบได้บ่อยที่สุด

5. พิสัยและการกระจายของข้อมูล

การรู้ค่ากลางอย่างเดียวอาจไม่เพียงพอ เพราะข้อมูลสองชุดอาจมีค่าเฉลี่ยเท่ากันแต่กระจายต่างกันมาก พิสัยเป็นวิธีวัดการกระจายแบบง่าย โดยหาผลต่างระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุด

พิสัยของข้อมูล

R=x_{\max}-x_{\min}

R คือพิสัย x_max คือค่าสูงสุด และ x_min คือค่าต่ำสุดในชุดข้อมูล

ตัวอย่าง: ข้อมูล 4, 6, 7, 12, 15 มีพิสัยเท่ากับ 15 − 4 = 11 หากอีกชุดหนึ่งมีค่าเฉลี่ยเท่ากัน แต่มีพิสัยสูงกว่า แสดงว่าระยะระหว่างค่าต่ำสุดกับค่าสูงสุดกว้างกว่า อย่างไรก็ตาม พิสัยพิจารณาเฉพาะค่าปลายสองด้าน จึงไม่แสดงรายละเอียดการกระจายทั้งหมด

6. ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ความแปรปรวน (Variance) วัดการกระจายโดยพิจารณาความแตกต่างระหว่างข้อมูลแต่ละค่ากับค่าเฉลี่ย แล้วนำความแตกต่างมายกกำลังสองก่อนหาค่าเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) คือรากที่สองของความแปรปรวน จึงมีหน่วยเดียวกับข้อมูลเดิม

ความแปรปรวนของประชากร

\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2

N คือจำนวนข้อมูลประชากรทั้งหมด และ μ คือค่าเฉลี่ยประชากร

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}

ถอดรากที่สองของความแปรปรวน เพื่อให้ค่าการกระจายกลับมาอยู่ในหน่วยเดียวกับข้อมูล

ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง

s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2

สูตรนี้ใช้กับกลุ่มตัวอย่างเพื่อประมาณความแปรปรวนของประชากร โดยใช้ n − 1 เป็นตัวหาร

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง

s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}

s คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง ไม่ควรสับสนกับ σ ซึ่งใช้แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ตัวอย่างแบบประชากร: ข้อมูล 2, 4, 6 มีค่าเฉลี่ย 4 ผลต่างจากค่าเฉลี่ยคือ −2, 0, 2 เมื่อนำมายกกำลังสองจะได้ 4, 0, 4 ผลรวมเท่ากับ 8 ความแปรปรวนประชากรจึงเท่ากับ 8/3 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ √(8/3) หรือประมาณ 1.63

คำนวณความแปรปรวนจากตัวอย่าง

\begin{aligned}\mu&=\frac{2+4+6}{3}=4\\\sigma^2&=\frac{(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2}{3}\\&=\frac{4+0+4}{3}=\frac{8}{3}\\\sigma&=\sqrt{\frac{8}{3}}\approx1.63\end{aligned}

สูตรนี้ถือว่าข้อมูลทั้งสามค่าเป็นประชากรทั้งหมด หากถือเป็นกลุ่มตัวอย่างจะใช้ตัวหาร n − 1 แทน

อย่าสับสนระหว่างประชากรกับกลุ่มตัวอย่างสูตรประชากรใช้ตัวหาร N ส่วนสูตรความแปรปรวนกลุ่มตัวอย่างใช้ n − 1 การเลือกสูตรขึ้นอยู่กับว่าข้อมูลเป็นประชากรทั้งหมดหรือเป็นเพียงตัวอย่างที่นำมาใช้ประมาณประชากร

7. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นเป็นตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 1 โดย 0 หมายถึงเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ และ 1 หมายถึงเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน ในกรณีที่ผลลัพธ์ทุกแบบมีโอกาสเกิดเท่ากัน สามารถคำนวณความน่าจะเป็นจากจำนวนผลลัพธ์ที่สนใจเทียบกับจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด

สูตรความน่าจะเป็นพื้นฐาน

P(A)=\frac{|A|}{|S|}

A คือเหตุการณ์ที่สนใจ และ S คือเซตผลลัพธ์ทั้งหมด ใช้สูตรนี้เมื่อผลลัพธ์แต่ละแบบมีโอกาสเกิดเท่ากัน

ขอบเขตของความน่าจะเป็น

0\leq P(A)\leq1

ความน่าจะเป็นต้องมีค่าไม่ต่ำกว่า 0 และไม่เกิน 1 หรือเมื่อเขียนเป็นเปอร์เซ็นต์จะอยู่ระหว่าง 0% ถึง 100%

ตัวอย่าง: ทอยลูกเต๋ามาตรฐานหนึ่งลูกที่มีหน้า 1 ถึง 6 และแต่ละหน้ามีโอกาสเท่ากัน เหตุการณ์ที่ได้เลขคู่มีผลลัพธ์ที่สนใจ 3 แบบ ได้แก่ 2, 4 และ 6 จากผลลัพธ์ทั้งหมด 6 แบบ ความน่าจะเป็นจึงเท่ากับ 3/6 = 1/2 หรือ 50%

ความน่าจะเป็นที่จะได้เลขคู่

P(\text{เลขคู่})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0.5=50\%

ลูกเต๋าต้องเป็นลูกเต๋ามาตรฐานที่ยุติธรรม และทุกหน้ามีโอกาสออกเท่ากัน

เหตุการณ์ตรงข้าม

เหตุการณ์ตรงข้ามของ A หมายถึงเหตุการณ์ที่ A ไม่เกิดขึ้น หากรู้ความน่าจะเป็นของ A แล้ว จะหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามได้โดยนำ 1 ลบด้วยความน่าจะเป็นของ A

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม

P(A^c)=1-P(A)

A^c หมายถึงเหตุการณ์ตรงข้ามของ A

หากโอกาสที่รถโดยสารจะมาถึงตรงเวลาคือ 0.8 และพิจารณาเพียงสองกรณีคือมาตรงเวลาหรือไม่ตรงเวลา ความน่าจะเป็นที่จะไม่ตรงเวลาคือ 1 − 0.8 = 0.2 หรือ 20%

8. กฎการบวกและกฎการคูณความน่าจะเป็น

เมื่อวิเคราะห์หลายเหตุการณ์ ต้องพิจารณาว่าเหตุการณ์สามารถเกิดพร้อมกันได้หรือไม่ และเหตุการณ์หนึ่งมีผลต่ออีกเหตุการณ์หรือไม่ การเลือกสูตรให้ตรงกับเงื่อนไขมีความสำคัญกว่าการจำสูตรเพียงอย่างเดียว

กฎการบวกของสองเหตุการณ์

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

นำความน่าจะเป็นของ A และ B มาบวกกัน แล้วลบส่วนที่เกิดร่วมกันออกเพื่อไม่ให้นับซ้ำ

กรณีเหตุการณ์ไม่เกิดร่วมกัน

A\cap B=\varnothing\quad\Rightarrow\quad P(A\cup B)=P(A)+P(B)

หาก A และ B ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ความน่าจะเป็นของการเกิด A หรือ B เท่ากับผลบวกของความน่าจะเป็นทั้งสอง

กฎการคูณของสองเหตุการณ์

P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)

P(B | A) คือความน่าจะเป็นที่ B จะเกิดขึ้นเมื่อทราบว่า A เกิดขึ้นแล้ว

กรณีเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน

P(A\cap B)=P(A)P(B)

ใช้เมื่อการเกิด A ไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของ B และการเกิด B ไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของ A

ตัวอย่าง: โยนเหรียญยุติธรรมสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวทั้งสองครั้งคือ 1/2 × 1/2 = 1/4 หรือ 25% เพราะผลของการโยนครั้งแรกไม่เปลี่ยนโอกาสของการโยนครั้งที่สอง

ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้ง

P(HH)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}

H แทนผลลัพธ์หัว และการโยนแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน

9. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขใช้เมื่อมีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ทำให้พื้นที่ผลลัพธ์ที่ต้องพิจารณาเปลี่ยนไป เช่น เมื่อทราบว่านักเรียนที่สุ่มได้เป็นผู้ที่เล่นกีฬาอยู่แล้ว เราอาจต้องการคำนวณโอกาสที่นักเรียนคนนั้นจะเล่นฟุตบอล

สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0

P(A | B) คือความน่าจะเป็นของ A เมื่อทราบว่า B เกิดขึ้นแล้ว

ตัวอย่าง: ในกลุ่มนักเรียน 40 คน มี 20 คนเล่นกีฬา และในกลุ่มผู้เล่นกีฬา มี 8 คนเล่นฟุตบอล หากสุ่มนักเรียนจากกลุ่มผู้เล่นกีฬาเท่านั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ผู้เล่นฟุตบอลเท่ากับ 8/20 = 0.4 หรือ 40%

คำนวณความน่าจะเป็นเมื่อมีเงื่อนไข

P(\text{ฟุตบอล}\mid\text{เล่นกีฬา})=\frac{8}{20}=0.4=40\%

ตัวหารคือจำนวนนักเรียนที่เล่นกีฬา 20 คน ไม่ใช่นักเรียนทั้งหมด 40 คน

10. หลักการนับและการจัดเรียง

หลักการนับช่วยหาจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ก่อนนำไปคำนวณความน่าจะเป็น หากมีขั้นตอนหลายขั้นและแต่ละขั้นมีจำนวนทางเลือกแน่นอน ให้คูณจำนวนทางเลือกของแต่ละขั้นเข้าด้วยกันเมื่อทุกทางเลือกสามารถจับคู่กันได้ตามเงื่อนไข

หลักการคูณในการนับ

N=n_1n_2\cdots n_k=\prod_{i=1}^{k}n_i

ถ้ามี k ขั้นตอน และขั้นที่ i มีทางเลือก n_i แบบ จำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับผลคูณของจำนวนทางเลือกแต่ละขั้น

ตัวอย่าง: มีเสื้อ 3 ตัวและกางเกง 4 ตัว หากเลือกเสื้อหนึ่งตัวกับกางเกงหนึ่งตัว จะจัดชุดได้ 3 × 4 = 12 แบบ โดยสมมติว่าเสื้อทุกตัวสามารถจับคู่กับกางเกงทุกตัวได้

จำนวนวิธีเรียงสิ่งของที่แตกต่างกัน

n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1

แฟกทอเรียล n! ใช้นับจำนวนวิธีเรียงสิ่งของ n ชิ้นที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยกำหนดให้ 0! = 1

การเรียงเลือก r สิ่งจาก n สิ่ง

P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}

ใช้เมื่อเลือกสิ่งของ r ชิ้นจาก n ชิ้นโดยไม่ซ้ำและลำดับมีความสำคัญ

การเลือก r สิ่งจาก n สิ่งโดยไม่สนใจลำดับ

\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}

ใช้เมื่อเลือกสิ่งของ r ชิ้นจาก n ชิ้นโดยไม่ซ้ำและไม่สนใจลำดับของสิ่งที่เลือก

ตัวอย่าง: เลือกนักเรียน 2 คนจากนักเรียน 5 คนเพื่อเป็นตัวแทนกลุ่ม โดยไม่กำหนดตำแหน่ง จะมีจำนวนวิธีเท่ากับ 5! ÷ (2!3!) = 10 วิธี แต่ถ้าต้องเลือกหัวหน้ากับรองหัวหน้า ตำแหน่งแตกต่างกัน จำนวนวิธีจะเป็น 5 × 4 = 20 วิธี

11. การแจกแจงทวินามเบื้องต้น

การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution) ใช้กับการทดลองจำนวน n ครั้งที่เป็นอิสระต่อกัน แต่ละครั้งมีผลลัพธ์สองประเภท เช่น สำเร็จหรือไม่สำเร็จ และความน่าจะเป็นของความสำเร็จ p คงที่ทุกครั้ง สูตรนี้ช่วยหาความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จพอดี k ครั้ง

สูตรความน่าจะเป็นแบบทวินาม

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

n คือจำนวนครั้งทดลอง k คือจำนวนความสำเร็จ และ p คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จในแต่ละครั้ง

ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงทวินาม

E(X)=np

ค่าเฉลี่ยของจำนวนความสำเร็จที่คาดหวังจากการทดลองทวินาม n ครั้ง

ความแปรปรวนของการแจกแจงทวินาม

\operatorname{Var}(X)=np(1-p)

ใช้วัดการกระจายของจำนวนความสำเร็จในการทดลองที่เป็นไปตามเงื่อนไขของการแจกแจงทวินาม

ตัวอย่าง: โยนเหรียญยุติธรรม 3 ครั้ง ต้องการได้หัวพอดี 2 ครั้ง มี n = 3, k = 2 และ p = 1/2 จึงได้ความน่าจะเป็นเท่ากับ C(3,2)(1/2)²(1/2) = 3/8 หรือ 37.5%

ตัวอย่างการแจกแจงทวินาม

\begin{aligned}P(X=2)&=\binom{3}{2}\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)^1\\&=3\times\frac18=\frac38=37.5\%\end{aligned}

ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวพอดีสองครั้งจากการโยนเหรียญสามครั้งเท่ากับ 37.5%

12. การแจกแจงปกติและคะแนนมาตรฐาน

การแจกแจงปกติ (Normal Distribution) เป็นรูปแบบการกระจายข้อมูลที่มีลักษณะสมมาตรรอบค่าเฉลี่ย พบได้ในแบบจำลองทางสถิติหลายประเภท เช่น ความคลาดเคลื่อนจากการวัดภายใต้เงื่อนไขบางอย่าง คะแนนมาตรฐาน z-score บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

คะแนนมาตรฐาน z-score

z=\frac{x-\mu}{\sigma}

x คือค่าที่สนใจ μ คือค่าเฉลี่ยประชากร และ σ คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร โดย σ ต้องมากกว่า 0

ฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงปกติ

f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

สูตรนี้อธิบายความหนาแน่นของการแจกแจงปกติ เมื่อ σ > 0 ไม่ใช่ความน่าจะเป็นของค่าจุดเดียวโดยตรง สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นหาได้จากพื้นที่ใต้กราฟในช่วงที่สนใจ

ตัวอย่าง: หากคะแนนมีค่าเฉลี่ย 70 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 และนักเรียนได้ 85 คะแนน คะแนนมาตรฐานเท่ากับ (85 − 70)/10 = 1.5 หมายความว่าคะแนนสูงกว่าค่าเฉลี่ย 1.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ตัวอย่างการคำนวณ z-score

z=\frac{85-70}{10}=\frac{15}{10}=1.5

ค่า z เป็นบวกแสดงว่าคะแนนอยู่เหนือค่าเฉลี่ย และค่า z เป็นลบแสดงว่าอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย

13. การประยุกต์สถิติกับการตัดสินใจ

การใช้สถิติควรพิจารณาที่มาของข้อมูล จำนวนตัวอย่าง วิธีสุ่ม และความเหมาะสมของตัวชี้วัด ตัวอย่างเช่น ร้านค้าอาจใช้ค่ามัธยฐานของยอดขายรายวันเพื่อลดผลกระทบจากวันที่มียอดขายสูงผิดปกติ และใช้ความน่าจะเป็นช่วยประเมินความเสี่ยง แต่ไม่ควรสรุปว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นแน่นอนเพียงเพราะมีความน่าจะเป็นสูง

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

\bar{x}_w=\frac{\sum_{i=1}^{n}w_ix_i}{\sum_{i=1}^{n}w_i}

ใช้เมื่อข้อมูลแต่ละค่ามีน้ำหนักไม่เท่ากัน เช่น คะแนนที่แต่ละส่วนมีสัดส่วนความสำคัญแตกต่างกัน โดยน้ำหนักรวมต้องไม่เป็นศูนย์

ตัวอย่าง: คะแนนงาน 80 คะแนนมีน้ำหนัก 40% และคะแนนสอบ 70 คะแนนมีน้ำหนัก 60% คะแนนรวมแบบถ่วงน้ำหนักเท่ากับ 80 × 0.4 + 70 × 0.6 = 74 คะแนน วิธีนี้ต่างจากการหาค่าเฉลี่ยธรรมดา เพราะแต่ละส่วนมีอิทธิพลต่อคะแนนรวมไม่เท่ากัน

คำนวณคะแนนถ่วงน้ำหนัก

\bar{x}_w=80(0.4)+70(0.6)=32+42=74

คะแนนรวมแบบถ่วงน้ำหนักเท่ากับ 74 คะแนน

อ่านข้อมูลอย่างมีวิจารณญาณตัวเลขเพียงค่าเดียวอาจไม่สะท้อนภาพรวมทั้งหมด ควรพิจารณาจำนวนข้อมูล การกระจาย วิธีเก็บข้อมูล และบริบทก่อนสรุปผล โดยเฉพาะเมื่อใช้ข้อมูลเพื่อเปรียบเทียบคน กลุ่ม หรือสินค้า

14. แบบฝึกคิดวิเคราะห์พร้อมเฉลย

โจทย์ที่ 1: หาค่าเฉลี่ย

โจทย์: ข้อมูล 4, 6, 8, 10, 12 มีค่าเฉลี่ยเท่าใด? เฉลย: ผลรวมเท่ากับ 40 มีข้อมูล 5 ค่า ดังนั้นค่าเฉลี่ย = 40 ÷ 5 = 8

โจทย์ที่ 2: หามัธยฐาน

โจทย์: ข้อมูล 9, 3, 7, 5, 11 มีมัธยฐานเท่าใด? เฉลย: เรียงข้อมูลได้ 3, 5, 7, 9, 11 ค่าตรงกลางคือ 7

โจทย์ที่ 3: หาพิสัย

โจทย์: ข้อมูล 14, 8, 20, 11, 17 มีพิสัยเท่าใด? เฉลย: ค่าสูงสุดคือ 20 และค่าต่ำสุดคือ 8 ดังนั้นพิสัย = 20 − 8 = 12

โจทย์ที่ 4: ความน่าจะเป็นของลูกเต๋า

โจทย์: ทอยลูกเต๋ามาตรฐานหนึ่งลูก โอกาสได้แต้มมากกว่า 4 เท่ากับเท่าใด? เฉลย: ผลลัพธ์ที่สนใจคือ 5 และ 6 มี 2 แบบจาก 6 แบบ ดังนั้น P = 2/6 = 1/3 หรือประมาณ 33.33%

โจทย์ที่ 5: ความน่าจะเป็นของเหรียญ

โจทย์: โยนเหรียญยุติธรรมสองครั้ง โอกาสได้หัวหนึ่งครั้งและก้อยหนึ่งครั้ง โดยไม่สนใจลำดับเท่ากับเท่าใด? เฉลย: ผลลัพธ์ทั้งหมดคือ HH, HT, TH, TT ผลลัพธ์ที่ต้องการคือ HT และ TH มี 2 แบบจาก 4 แบบ ดังนั้นความน่าจะเป็น = 2/4 = 1/2 หรือ 50%

โจทย์ที่ 6: คะแนนถ่วงน้ำหนัก

โจทย์: คะแนนเก็บ 90 คะแนนมีน้ำหนัก 30% และคะแนนสอบ 70 คะแนนมีน้ำหนัก 70% คะแนนรวมเท่าใด? เฉลย: 90 × 0.3 + 70 × 0.7 = 27 + 49 = 76 คะแนน

15. สรุปสูตรสำคัญ

หัวข้อ	สูตร	สิ่งที่ควรจำ
ค่าเฉลี่ย	x̄ = Σxᵢ/n	ผลรวมข้อมูลหารด้วยจำนวนข้อมูล
ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก	x̄w = Σwᵢxᵢ/Σwᵢ	คำนึงถึงน้ำหนักของแต่ละค่า
มัธยฐาน	ค่ากลางหลังเรียงข้อมูล	จำนวนคู่ให้เฉลี่ยสองค่าตรงกลาง
ฐานนิยม	ค่าที่พบมากที่สุด	ข้อมูลอาจมีฐานนิยมมากกว่าหนึ่งค่า
พิสัย	R = x_max − x_min	ดูเฉพาะค่าสูงสุดและต่ำสุด
ความแปรปรวนประชากร	σ² = Σ(xᵢ − μ)²/N	ตัวหารเป็นจำนวนประชากร
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน	σ = √σ²	มีหน่วยเดียวกับข้อมูลเดิม
ความน่าจะเป็นพื้นฐาน	P(A) = \|A\|/\|S\|	ใช้เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากัน
เหตุการณ์ตรงข้าม	P(Aᶜ) = 1 − P(A)	โอกาสที่ A ไม่เกิด
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข	P(A\|B) = P(A∩B)/P(B)	ต้องมี P(B) > 0
ทวินาม	P(X=k) = C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ	ทดลองอิสระและ p คงที่
คะแนนมาตรฐาน	z = (x − μ)/σ	วัดระยะจากค่าเฉลี่ยเป็นหน่วย SD

ความสัมพันธ์ของค่ากลางและการกระจาย

\text{ข้อมูล}\longrightarrow\begin{cases}\text{ค่ากลาง: }\bar{x},\;\operatorname{Median},\;\operatorname{Mode}\\\text{การกระจาย: }R,\;\sigma^2,\;\sigma\end{cases}

การสรุปข้อมูลที่ดีควรดูทั้งค่ากลางและการกระจาย ไม่ควรใช้ค่าเฉลี่ยเพียงค่าเดียวเพื่ออธิบายข้อมูลทุกลักษณะ

ข้อมูลจะมีความหมายเมื่อเรารู้วิธีอ่าน วิเคราะห์ และตั้งคำถามกับสิ่งที่ตัวเลขกำลังบอกเรา

คณิตศาสตร์-Math EP.5 พาฝึกตั้งแต่การสรุปข้อมูลพื้นฐานไปจนถึงแนวคิดความน่าจะเป็นและการแจกแจงทางสถิติ ใน EP ถัดไปของชุดคณิตศาสตร์-Math จะต่อยอดสู่การให้เหตุผล ความสัมพันธ์ และการแก้ปัญหาหลายขั้นตอน โดยยังคงใช้บล็อก Math เพื่อแสดงสูตร การพิสูจน์ และขั้นตอนคำนวณอย่างชัดเจน

เช็กลิสต์ก่อนสรุปคำตอบ1. ตรวจสอบประเภทและเงื่อนไขของข้อมูล 2. เลือกสูตรให้ตรงกับโจทย์ 3. แทนค่าตัวแปรอย่างระมัดระวัง 4. ตรวจสอบตัวหารและหน่วย 5. พิจารณาว่าผลลัพธ์สมเหตุสมผลหรือไม่ 6. อธิบายข้อจำกัดของข้อสรุปเมื่อข้อมูลไม่ครอบคลุมทั้งหมด

Reach within 500px of the page end and stay for at least 5 minutes to earn EXP once per day.

⏳ Reading timer is running...