← กลับคลังเนื้อหา
Article · math-article
คณิตศาสตร์-Math EP.5: สถิติและความน่าจะเป็น
คณิตศาสตร์พื้นฐาน
เรียนรู้สถิติและความน่าจะเป็นอย่างเป็นขั้นตอน ตั้งแต่การจัดข้อมูล ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม พิสัย ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข และการนับจำนวนกรณี พร้อมบล็อก Math ที่ใช้ LaTeX และ KaTeX อย่างหลากหลายสำหรับการคำนวณและอธิบายสูตรอย่างละเอียด
1. สถิติและความน่าจะเป็นสำคัญอย่างไร
สถิติ (Statistics) คือกระบวนการรวบรวม จัดระเบียบ วิเคราะห์ และแปลความหมายของข้อมูล ส่วนความน่าจะเป็น (Probability) ใช้อธิบายโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น ทั้งสองเรื่องช่วยให้เราตัดสินใจจากข้อมูลแทนการคาดเดา เช่น การวิเคราะห์คะแนนสอบ สำรวจความนิยมของสินค้า ประเมินความเสี่ยง และวางแผนค่าใช้จ่าย
แนวคิดสำคัญ สถิติช่วยสรุปสิ่งที่สังเกตได้จากข้อมูล ส่วนความน่าจะเป็นช่วยวิเคราะห์โอกาสของเหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้น การใช้ทั้งสองอย่างร่วมกันทำให้การตัดสินใจมีเหตุผลมากขึ้น
2. ประเภทข้อมูลและการจัดเรียงข้อมูล
ก่อนคำนวณ ต้องเข้าใจว่าข้อมูลมีลักษณะอย่างไร ข้อมูลเชิงปริมาณเป็นข้อมูลที่แสดงเป็นตัวเลขและนำไปคำนวณได้ เช่น อายุ คะแนน และรายได้ ส่วนข้อมูลเชิงคุณภาพเป็นข้อมูลที่แบ่งประเภท เช่น สีที่ชอบ ประเภทสินค้า หรือวิธีเดินทาง การจัดเรียงข้อมูลเชิงตัวเลขจากน้อยไปมากช่วยให้หาค่ากลางและค่าการกระจายได้สะดวก
ข้อมูล ประเภท ตัวอย่าง คะแนนสอบ เชิงปริมาณ 65, 72, 88 จำนวนหนังสือ เชิงปริมาณแบบไม่ต่อเนื่อง 1, 2, 3 เล่ม ส่วนสูง เชิงปริมาณแบบต่อเนื่อง 152.5 เซนติเมตร สีที่ชอบ เชิงคุณภาพ แดง น้ำเงิน เขียว วิธีเดินทาง เชิงคุณภาพ รถยนต์ รถประจำทาง เดิน
3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean) คำนวณโดยนำข้อมูลทุกค่ามาบวกกันแล้วหารด้วยจำนวนข้อมูล เหมาะสำหรับสรุปค่ากลางของชุดข้อมูล แต่ควรระวังว่าค่าที่สูงหรือต่ำผิดปกติอาจทำให้ค่าเฉลี่ยเปลี่ยนแปลงได้มาก
สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}x_i คือข้อมูลลำดับที่ i และ n คือจำนวนข้อมูลทั้งหมด สัญลักษณ์ซิกมา \sum หมายถึงการนำค่าตามลำดับมาบวกกัน
ตัวอย่าง: คะแนน 4 ครั้งคือ 6, 8, 9 และ 13 คะแนน ผลรวมเท่ากับ 36 และมีข้อมูล 4 ค่า ดังนั้นค่าเฉลี่ยเท่ากับ 36 ÷ 4 = 9 คะแนน
คำนวณค่าเฉลี่ยจากตัวอย่าง \begin{aligned}\bar{x}&=\frac{6+8+9+13}{4}\\&=\frac{36}{4}\\&=9\end{aligned}ค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 9
ค่าเฉลี่ยเมื่อข้อมูลมีความถี่
บางครั้งข้อมูลจะถูกสรุปเป็นตารางความถี่ โดย x_i แทนค่าข้อมูล และ f_i แทนจำนวนครั้งที่ข้อมูลค่านั้นปรากฏ วิธีนี้ช่วยคำนวณค่าเฉลี่ยได้โดยไม่ต้องเขียนข้อมูลที่ซ้ำกันทั้งหมดออกมา
ค่าเฉลี่ยจากตารางความถี่ \bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{k}f_ix_i}{\sum_{i=1}^{k}f_i}คูณแต่ละค่าด้วยความถี่ของค่านั้น แล้วหารด้วยผลรวมความถี่ทั้งหมด
คะแนน x_i ความถี่ f_i ผลคูณ f_i x_i 5 2 10 7 3 21 9 1 9 รวม 6 40
ตัวอย่างค่าเฉลี่ยจากความถี่ \bar{x}=\frac{2(5)+3(7)+1(9)}{2+3+1}=\frac{40}{6}=\frac{20}{3}\approx6.67ค่าเฉลี่ยประมาณ 6.67 คะแนน โดยเก็บค่าเศษส่วน 20/3 ไว้ได้หากต้องการความแม่นยำมากขึ้น
4. มัธยฐานและฐานนิยม
มัธยฐาน (Median) คือค่าที่อยู่ตรงกลางหลังเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ส่วนฐานนิยม (Mode) คือค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุด ทั้งสองค่าเป็นตัวแทนค่ากลางอีกแบบหนึ่งที่มีประโยชน์ โดยเฉพาะเมื่อข้อมูลมีค่าผิดปกติหรือมีค่าบางค่าปรากฏซ้ำบ่อย
มัธยฐานเมื่อจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคี่ \operatorname{Median}=x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}เมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ตำแหน่งตรงกลางคือ (n + 1)/2 สำหรับจำนวนข้อมูล n ที่เป็นจำนวนคี่
มัธยฐานเมื่อจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคู่ \operatorname{Median}=\frac{x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}}{2}เมื่อจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคู่ ให้หาค่าเฉลี่ยของข้อมูลสองตำแหน่งตรงกลางหลังเรียงข้อมูลแล้ว
ตัวอย่างข้อมูล 3, 5, 7, 9, 11 มีมัธยฐานเท่ากับ 7 ส่วนข้อมูล 2, 4, 6, 8 มีมัธยฐานเท่ากับ (4 + 6) ÷ 2 = 5 หากข้อมูลเป็น 2, 3, 3, 3, 5, 8 ฐานนิยมคือ 3 เพราะปรากฏมากที่สุด
เลือกค่ากลางให้เหมาะกับข้อมูล ใช้ค่าเฉลี่ยเมื่ออยากคำนึงถึงข้อมูลทุกค่า ใช้มัธยฐานเมื่ออยากได้ค่ากลางที่ไม่ไวต่อค่าผิดปกติมากนัก และใช้ฐานนิยมเมื่ออยากทราบค่าหรือประเภทที่พบได้บ่อยที่สุด
5. พิสัยและการกระจายของข้อมูล
การรู้ค่ากลางอย่างเดียวอาจไม่เพียงพอ เพราะข้อมูลสองชุดอาจมีค่าเฉลี่ยเท่ากันแต่กระจายต่างกันมาก พิสัยเป็นวิธีวัดการกระจายแบบง่าย โดยหาผลต่างระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุด
พิสัยของข้อมูล R=x_{\max}-x_{\min}R คือพิสัย x_max คือค่าสูงสุด และ x_min คือค่าต่ำสุดในชุดข้อมูล
ตัวอย่าง: ข้อมูล 4, 6, 7, 12, 15 มีพิสัยเท่ากับ 15 − 4 = 11 หากอีกชุดหนึ่งมีค่าเฉลี่ยเท่ากัน แต่มีพิสัยสูงกว่า แสดงว่าระยะระหว่างค่าต่ำสุดกับค่าสูงสุดกว้างกว่า อย่างไรก็ตาม พิสัยพิจารณาเฉพาะค่าปลายสองด้าน จึงไม่แสดงรายละเอียดการกระจายทั้งหมด
6. ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ความแปรปรวน (Variance) วัดการกระจายโดยพิจารณาความแตกต่างระหว่างข้อมูลแต่ละค่ากับค่าเฉลี่ย แล้วนำความแตกต่างมายกกำลังสองก่อนหาค่าเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) คือรากที่สองของความแปรปรวน จึงมีหน่วยเดียวกับข้อมูลเดิม
ความแปรปรวนของประชากร \sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2N คือจำนวนข้อมูลประชากรทั้งหมด และ μ คือค่าเฉลี่ยประชากร
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร \sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}ถอดรากที่สองของความแปรปรวน เพื่อให้ค่าการกระจายกลับมาอยู่ในหน่วยเดียวกับข้อมูล
ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2สูตรนี้ใช้กับกลุ่มตัวอย่างเพื่อประมาณความแปรปรวนของประชากร โดยใช้ n − 1 เป็นตัวหาร
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}s คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง ไม่ควรสับสนกับ σ ซึ่งใช้แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร
ตัวอย่างแบบประชากร: ข้อมูล 2, 4, 6 มีค่าเฉลี่ย 4 ผลต่างจากค่าเฉลี่ยคือ −2, 0, 2 เมื่อนำมายกกำลังสองจะได้ 4, 0, 4 ผลรวมเท่ากับ 8 ความแปรปรวนประชากรจึงเท่ากับ 8/3 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ √(8/3) หรือประมาณ 1.63
คำนวณความแปรปรวนจากตัวอย่าง \begin{aligned}\mu&=\frac{2+4+6}{3}=4\\\sigma^2&=\frac{(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2}{3}\\&=\frac{4+0+4}{3}=\frac{8}{3}\\\sigma&=\sqrt{\frac{8}{3}}\approx1.63\end{aligned}สูตรนี้ถือว่าข้อมูลทั้งสามค่าเป็นประชากรทั้งหมด หากถือเป็นกลุ่มตัวอย่างจะใช้ตัวหาร n − 1 แทน
อย่าสับสนระหว่างประชากรกับกลุ่มตัวอย่าง สูตรประชากรใช้ตัวหาร N ส่วนสูตรความแปรปรวนกลุ่มตัวอย่างใช้ n − 1 การเลือกสูตรขึ้นอยู่กับว่าข้อมูลเป็นประชากรทั้งหมดหรือเป็นเพียงตัวอย่างที่นำมาใช้ประมาณประชากร
7. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นเป็นตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 1 โดย 0 หมายถึงเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ และ 1 หมายถึงเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน ในกรณีที่ผลลัพธ์ทุกแบบมีโอกาสเกิดเท่ากัน สามารถคำนวณความน่าจะเป็นจากจำนวนผลลัพธ์ที่สนใจเทียบกับจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด
สูตรความน่าจะเป็นพื้นฐาน P(A)=\frac{|A|}{|S|}A คือเหตุการณ์ที่สนใจ และ S คือเซตผลลัพธ์ทั้งหมด ใช้สูตรนี้เมื่อผลลัพธ์แต่ละแบบมีโอกาสเกิดเท่ากัน
ขอบเขตของความน่าจะเป็น 0\leq P(A)\leq1ความน่าจะเป็นต้องมีค่าไม่ต่ำกว่า 0 และไม่เกิน 1 หรือเมื่อเขียนเป็นเปอร์เซ็นต์จะอยู่ระหว่าง 0% ถึง 100%
ตัวอย่าง: ทอยลูกเต๋ามาตรฐานหนึ่งลูกที่มีหน้า 1 ถึง 6 และแต่ละหน้ามีโอกาสเท่ากัน เหตุการณ์ที่ได้เลขคู่มีผลลัพธ์ที่สนใจ 3 แบบ ได้แก่ 2, 4 และ 6 จากผลลัพธ์ทั้งหมด 6 แบบ ความน่าจะเป็นจึงเท่ากับ 3/6 = 1/2 หรือ 50%
ความน่าจะเป็นที่จะได้เลขคู่ P(\text{เลขคู่})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0.5=50\%ลูกเต๋าต้องเป็นลูกเต๋ามาตรฐานที่ยุติธรรม และทุกหน้ามีโอกาสออกเท่ากัน
เหตุการณ์ตรงข้าม
เหตุการณ์ตรงข้ามของ A หมายถึงเหตุการณ์ที่ A ไม่เกิดขึ้น หากรู้ความน่าจะเป็นของ A แล้ว จะหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามได้โดยนำ 1 ลบด้วยความน่าจะเป็นของ A
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม P(A^c)=1-P(A)A^c หมายถึงเหตุการณ์ตรงข้ามของ A
หากโอกาสที่รถโดยสารจะมาถึงตรงเวลาคือ 0.8 และพิจารณาเพียงสองกรณีคือมาตรงเวลาหรือไม่ตรงเวลา ความน่าจะเป็นที่จะไม่ตรงเวลาคือ 1 − 0.8 = 0.2 หรือ 20%
8. กฎการบวกและกฎการคูณความน่าจะเป็น
เมื่อวิเคราะห์หลายเหตุการณ์ ต้องพิจารณาว่าเหตุการณ์สามารถเกิดพร้อมกันได้หรือไม่ และเหตุการณ์หนึ่งมีผลต่ออีกเหตุการณ์หรือไม่ การเลือกสูตรให้ตรงกับเงื่อนไขมีความสำคัญกว่าการจำสูตรเพียงอย่างเดียว
กฎการบวกของสองเหตุการณ์ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)นำความน่าจะเป็นของ A และ B มาบวกกัน แล้วลบส่วนที่เกิดร่วมกันออกเพื่อไม่ให้นับซ้ำ
กรณีเหตุการณ์ไม่เกิดร่วมกัน A\cap B=\varnothing\quad\Rightarrow\quad P(A\cup B)=P(A)+P(B)หาก A และ B ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ความน่าจะเป็นของการเกิด A หรือ B เท่ากับผลบวกของความน่าจะเป็นทั้งสอง
กฎการคูณของสองเหตุการณ์ P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)P(B | A) คือความน่าจะเป็นที่ B จะเกิดขึ้นเมื่อทราบว่า A เกิดขึ้นแล้ว
กรณีเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน P(A\cap B)=P(A)P(B)ใช้เมื่อการเกิด A ไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของ B และการเกิด B ไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของ A
ตัวอย่าง: โยนเหรียญยุติธรรมสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวทั้งสองครั้งคือ 1/2 × 1/2 = 1/4 หรือ 25% เพราะผลของการโยนครั้งแรกไม่เปลี่ยนโอกาสของการโยนครั้งที่สอง
ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้ง P(HH)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}H แทนผลลัพธ์หัว และการโยนแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน
9. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขใช้เมื่อมีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเหตุการณ์หนึ่งแล้ว ทำให้พื้นที่ผลลัพธ์ที่ต้องพิจารณาเปลี่ยนไป เช่น เมื่อทราบว่านักเรียนที่สุ่มได้เป็นผู้ที่เล่นกีฬาอยู่แล้ว เราอาจต้องการคำนวณโอกาสที่นักเรียนคนนั้นจะเล่นฟุตบอล
สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0P(A | B) คือความน่าจะเป็นของ A เมื่อทราบว่า B เกิดขึ้นแล้ว
ตัวอย่าง: ในกลุ่มนักเรียน 40 คน มี 20 คนเล่นกีฬา และในกลุ่มผู้เล่นกีฬา มี 8 คนเล่นฟุตบอล หากสุ่มนักเรียนจากกลุ่มผู้เล่นกีฬาเท่านั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ผู้เล่นฟุตบอลเท่ากับ 8/20 = 0.4 หรือ 40%
คำนวณความน่าจะเป็นเมื่อมีเงื่อนไข P(\text{ฟุตบอล}\mid\text{เล่นกีฬา})=\frac{8}{20}=0.4=40\%ตัวหารคือจำนวนนักเรียนที่เล่นกีฬา 20 คน ไม่ใช่นักเรียนทั้งหมด 40 คน
10. หลักการนับและการจัดเรียง
หลักการนับช่วยหาจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ก่อนนำไปคำนวณความน่าจะเป็น หากมีขั้นตอนหลายขั้นและแต่ละขั้นมีจำนวนทางเลือกแน่นอน ให้คูณจำนวนทางเลือกของแต่ละขั้นเข้าด้วยกันเมื่อทุกทางเลือกสามารถจับคู่กันได้ตามเงื่อนไข
หลักการคูณในการนับ N=n_1n_2\cdots n_k=\prod_{i=1}^{k}n_iถ้ามี k ขั้นตอน และขั้นที่ i มีทางเลือก n_i แบบ จำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับผลคูณของจำนวนทางเลือกแต่ละขั้น
ตัวอย่าง: มีเสื้อ 3 ตัวและกางเกง 4 ตัว หากเลือกเสื้อหนึ่งตัวกับกางเกงหนึ่งตัว จะจัดชุดได้ 3 × 4 = 12 แบบ โดยสมมติว่าเสื้อทุกตัวสามารถจับคู่กับกางเกงทุกตัวได้
จำนวนวิธีเรียงสิ่งของที่แตกต่างกัน n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1แฟกทอเรียล n! ใช้นับจำนวนวิธีเรียงสิ่งของ n ชิ้นที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยกำหนดให้ 0! = 1
การเรียงเลือก r สิ่งจาก n สิ่ง P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}ใช้เมื่อเลือกสิ่งของ r ชิ้นจาก n ชิ้นโดยไม่ซ้ำและลำดับมีความสำคัญ
การเลือก r สิ่งจาก n สิ่งโดยไม่สนใจลำดับ \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}ใช้เมื่อเลือกสิ่งของ r ชิ้นจาก n ชิ้นโดยไม่ซ้ำและไม่สนใจลำดับของสิ่งที่เลือก
ตัวอย่าง: เลือกนักเรียน 2 คนจากนักเรียน 5 คนเพื่อเป็นตัวแทนกลุ่ม โดยไม่กำหนดตำแหน่ง จะมีจำนวนวิธีเท่ากับ 5! ÷ (2!3!) = 10 วิธี แต่ถ้าต้องเลือกหัวหน้ากับรองหัวหน้า ตำแหน่งแตกต่างกัน จำนวนวิธีจะเป็น 5 × 4 = 20 วิธี
11. การแจกแจงทวินามเบื้องต้น
การแจกแจงทวินาม (Binomial Distribution) ใช้กับการทดลองจำนวน n ครั้งที่เป็นอิสระต่อกัน แต่ละครั้งมีผลลัพธ์สองประเภท เช่น สำเร็จหรือไม่สำเร็จ และความน่าจะเป็นของความสำเร็จ p คงที่ทุกครั้ง สูตรนี้ช่วยหาความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จพอดี k ครั้ง
สูตรความน่าจะเป็นแบบทวินาม P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}n คือจำนวนครั้งทดลอง k คือจำนวนความสำเร็จ และ p คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จในแต่ละครั้ง
ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงทวินาม E(X)=npค่าเฉลี่ยของจำนวนความสำเร็จที่คาดหวังจากการทดลองทวินาม n ครั้ง
ความแปรปรวนของการแจกแจงทวินาม \operatorname{Var}(X)=np(1-p)ใช้วัดการกระจายของจำนวนความสำเร็จในการทดลองที่เป็นไปตามเงื่อนไขของการแจกแจงทวินาม
ตัวอย่าง: โยนเหรียญยุติธรรม 3 ครั้ง ต้องการได้หัวพอดี 2 ครั้ง มี n = 3, k = 2 และ p = 1/2 จึงได้ความน่าจะเป็นเท่ากับ C(3,2)(1/2)²(1/2) = 3/8 หรือ 37.5%
ตัวอย่างการแจกแจงทวินาม \begin{aligned}P(X=2)&=\binom{3}{2}\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)^1\\&=3\times\frac18=\frac38=37.5\%\end{aligned}ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวพอดีสองครั้งจากการโยนเหรียญสามครั้งเท่ากับ 37.5%
12. การแจกแจงปกติและคะแนนมาตรฐาน
การแจกแจงปกติ (Normal Distribution) เป็นรูปแบบการกระจายข้อมูลที่มีลักษณะสมมาตรรอบค่าเฉลี่ย พบได้ในแบบจำลองทางสถิติหลายประเภท เช่น ความคลาดเคลื่อนจากการวัดภายใต้เงื่อนไขบางอย่าง คะแนนมาตรฐาน z-score บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คะแนนมาตรฐาน z-score z=\frac{x-\mu}{\sigma}x คือค่าที่สนใจ μ คือค่าเฉลี่ยประชากร และ σ คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร โดย σ ต้องมากกว่า 0
ฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงปกติ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)สูตรนี้อธิบายความหนาแน่นของการแจกแจงปกติ เมื่อ σ > 0 ไม่ใช่ความน่าจะเป็นของค่าจุดเดียวโดยตรง สำหรับตัวแปรต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นหาได้จากพื้นที่ใต้กราฟในช่วงที่สนใจ
ตัวอย่าง: หากคะแนนมีค่าเฉลี่ย 70 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 และนักเรียนได้ 85 คะแนน คะแนนมาตรฐานเท่ากับ (85 − 70)/10 = 1.5 หมายความว่าคะแนนสูงกว่าค่าเฉลี่ย 1.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ตัวอย่างการคำนวณ z-score z=\frac{85-70}{10}=\frac{15}{10}=1.5ค่า z เป็นบวกแสดงว่าคะแนนอยู่เหนือค่าเฉลี่ย และค่า z เป็นลบแสดงว่าอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย
13. การประยุกต์สถิติกับการตัดสินใจ
การใช้สถิติควรพิจารณาที่มาของข้อมูล จำนวนตัวอย่าง วิธีสุ่ม และความเหมาะสมของตัวชี้วัด ตัวอย่างเช่น ร้านค้าอาจใช้ค่ามัธยฐานของยอดขายรายวันเพื่อลดผลกระทบจากวันที่มียอดขายสูงผิดปกติ และใช้ความน่าจะเป็นช่วยประเมินความเสี่ยง แต่ไม่ควรสรุปว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นแน่นอนเพียงเพราะมีความน่าจะเป็นสูง
ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก \bar{x}_w=\frac{\sum_{i=1}^{n}w_ix_i}{\sum_{i=1}^{n}w_i}ใช้เมื่อข้อมูลแต่ละค่ามีน้ำหนักไม่เท่ากัน เช่น คะแนนที่แต่ละส่วนมีสัดส่วนความสำคัญแตกต่างกัน โดยน้ำหนักรวมต้องไม่เป็นศูนย์
ตัวอย่าง: คะแนนงาน 80 คะแนนมีน้ำหนัก 40% และคะแนนสอบ 70 คะแนนมีน้ำหนัก 60% คะแนนรวมแบบถ่วงน้ำหนักเท่ากับ 80 × 0.4 + 70 × 0.6 = 74 คะแนน วิธีนี้ต่างจากการหาค่าเฉลี่ยธรรมดา เพราะแต่ละส่วนมีอิทธิพลต่อคะแนนรวมไม่เท่ากัน
คำนวณคะแนนถ่วงน้ำหนัก \bar{x}_w=80(0.4)+70(0.6)=32+42=74คะแนนรวมแบบถ่วงน้ำหนักเท่ากับ 74 คะแนน
อ่านข้อมูลอย่างมีวิจารณญาณ ตัวเลขเพียงค่าเดียวอาจไม่สะท้อนภาพรวมทั้งหมด ควรพิจารณาจำนวนข้อมูล การกระจาย วิธีเก็บข้อมูล และบริบทก่อนสรุปผล โดยเฉพาะเมื่อใช้ข้อมูลเพื่อเปรียบเทียบคน กลุ่ม หรือสินค้า
14. แบบฝึกคิดวิเคราะห์พร้อมเฉลย
โจทย์ที่ 1: หาค่าเฉลี่ย โจทย์: ข้อมูล 4, 6, 8, 10, 12 มีค่าเฉลี่ยเท่าใด? เฉลย: ผลรวมเท่ากับ 40 มีข้อมูล 5 ค่า ดังนั้นค่าเฉลี่ย = 40 ÷ 5 = 8
โจทย์ที่ 2: หามัธยฐาน โจทย์: ข้อมูล 9, 3, 7, 5, 11 มีมัธยฐานเท่าใด? เฉลย: เรียงข้อมูลได้ 3, 5, 7, 9, 11 ค่าตรงกลางคือ 7
โจทย์ที่ 3: หาพิสัย โจทย์: ข้อมูล 14, 8, 20, 11, 17 มีพิสัยเท่าใด? เฉลย: ค่าสูงสุดคือ 20 และค่าต่ำสุดคือ 8 ดังนั้นพิสัย = 20 − 8 = 12
โจทย์ที่ 4: ความน่าจะเป็นของลูกเต๋า โจทย์: ทอยลูกเต๋ามาตรฐานหนึ่งลูก โอกาสได้แต้มมากกว่า 4 เท่ากับเท่าใด? เฉลย: ผลลัพธ์ที่สนใจคือ 5 และ 6 มี 2 แบบจาก 6 แบบ ดังนั้น P = 2/6 = 1/3 หรือประมาณ 33.33%
โจทย์ที่ 5: ความน่าจะเป็นของเหรียญ โจทย์: โยนเหรียญยุติธรรมสองครั้ง โอกาสได้หัวหนึ่งครั้งและก้อยหนึ่งครั้ง โดยไม่สนใจลำดับเท่ากับเท่าใด? เฉลย: ผลลัพธ์ทั้งหมดคือ HH, HT, TH, TT ผลลัพธ์ที่ต้องการคือ HT และ TH มี 2 แบบจาก 4 แบบ ดังนั้นความน่าจะเป็น = 2/4 = 1/2 หรือ 50%
โจทย์ที่ 6: คะแนนถ่วงน้ำหนัก โจทย์: คะแนนเก็บ 90 คะแนนมีน้ำหนัก 30% และคะแนนสอบ 70 คะแนนมีน้ำหนัก 70% คะแนนรวมเท่าใด? เฉลย: 90 × 0.3 + 70 × 0.7 = 27 + 49 = 76 คะแนน
15. สรุปสูตรสำคัญ
หัวข้อ สูตร สิ่งที่ควรจำ ค่าเฉลี่ย x̄ = Σxᵢ/n ผลรวมข้อมูลหารด้วยจำนวนข้อมูล ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก x̄w = Σwᵢxᵢ/Σwᵢ คำนึงถึงน้ำหนักของแต่ละค่า มัธยฐาน ค่ากลางหลังเรียงข้อมูล จำนวนคู่ให้เฉลี่ยสองค่าตรงกลาง ฐานนิยม ค่าที่พบมากที่สุด ข้อมูลอาจมีฐานนิยมมากกว่าหนึ่งค่า พิสัย R = x_max − x_min ดูเฉพาะค่าสูงสุดและต่ำสุด ความแปรปรวนประชากร σ² = Σ(xᵢ − μ)²/N ตัวหารเป็นจำนวนประชากร ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √σ² มีหน่วยเดียวกับข้อมูลเดิม ความน่าจะเป็นพื้นฐาน P(A) = |A|/|S| ใช้เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากัน เหตุการณ์ตรงข้าม P(Aᶜ) = 1 − P(A) โอกาสที่ A ไม่เกิด ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P(A|B) = P(A∩B)/P(B) ต้องมี P(B) > 0 ทวินาม P(X=k) = C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ ทดลองอิสระและ p คงที่ คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ วัดระยะจากค่าเฉลี่ยเป็นหน่วย SD
ความสัมพันธ์ของค่ากลางและการกระจาย \text{ข้อมูล}\longrightarrow\begin{cases}\text{ค่ากลาง: }\bar{x},\;\operatorname{Median},\;\operatorname{Mode}\\\text{การกระจาย: }R,\;\sigma^2,\;\sigma\end{cases}การสรุปข้อมูลที่ดีควรดูทั้งค่ากลางและการกระจาย ไม่ควรใช้ค่าเฉลี่ยเพียงค่าเดียวเพื่ออธิบายข้อมูลทุกลักษณะ
ข้อมูลจะมีความหมายเมื่อเรารู้วิธีอ่าน วิเคราะห์ และตั้งคำถามกับสิ่งที่ตัวเลขกำลังบอกเรา
คณิตศาสตร์-Math EP.5 พาฝึกตั้งแต่การสรุปข้อมูลพื้นฐานไปจนถึงแนวคิดความน่าจะเป็นและการแจกแจงทางสถิติ ใน EP ถัดไปของชุดคณิตศาสตร์-Math จะต่อยอดสู่การให้เหตุผล ความสัมพันธ์ และการแก้ปัญหาหลายขั้นตอน โดยยังคงใช้บล็อก Math เพื่อแสดงสูตร การพิสูจน์ และขั้นตอนคำนวณอย่างชัดเจน
เช็กลิสต์ก่อนสรุปคำตอบ 1. ตรวจสอบประเภทและเงื่อนไขของข้อมูล 2. เลือกสูตรให้ตรงกับโจทย์ 3. แทนค่าตัวแปรอย่างระมัดระวัง 4. ตรวจสอบตัวหารและหน่วย 5. พิจารณาว่าผลลัพธ์สมเหตุสมผลหรือไม่ 6. อธิบายข้อจำกัดของข้อสรุปเมื่อข้อมูลไม่ครอบคลุมทั้งหมด
อ่านจนถึงระยะ 500px ก่อนท้ายหน้าและอยู่ในหน้านี้อย่างน้อย 5 นาที เพื่อรับ EXP วันละครั้ง
⏳ กำลังจับเวลาอ่าน...